Archive - AMS Classification 05C05

We provide a coherent overview of a number of recent results obtained by the authors in the theory of schemes defined over the field with one element. Essentially, this theory encompasses the study of a functor which maps certain geometries including graphs to Deitmar constructible sets with additional structure, as such introducing a new zeta function for graphs. The functor is then used to determine the automorphism groups of the Deitmar constructible sets and their base extensions to fields.

Nous donnons une vue d’ensemble d’une nombre de résultats récents qui ont été obtenus par les auteurs dans le domaine de la théorie des schémas sur le corps à un élément. Principalement, cette théorie concerne l’étude d’un foncteur qui envoie certaines géométries (y compris les graphes) sur un ensemble constructible de Deitmar avec une structure additionnelle. De cette manière on introduit aussi une nouvelle fonction zeta pour les graphes. Le foncteur est ensuite utilisé pour déterminer les groupes d’automorphismes des ensembles constructibles de Deitmar et de ceux obtenus après une extension de base à d’autres corps.