Archive - AMS Classification 14P10

We study local and global Poincaré type \(L^p\) inequalities on a compact semialgebraic subset of \(\mathbb{R}^n\) for \(p\gg 1\). As a consequence, we obtain an isomorphism between \(L^p\) cohomology and singular cohomology of a normal compact semialgebraic set. The global inequality is derived from the local one, while the local inequality is proved by means of a semialgebraic Lipschitz deformation retraction with estimates on its derivatives.

On étudie les inégalités locales et globales de type \(L^p\) de Poincaré sur un sous-ensemble compact semialgébrique de \(\mathbb{R}^n\) pour \(p\gg 1\). Par conséquent, nous obtenons un isomorphisme entre la cohomologie \(L^p\) et la cohomologie singulière d’un ensemble normal compact semialgébrique. L’inégalité globale est dérivée de la locale, tandis que l’inégalité locale est prouvée au moyen d’une rétraction de déformation semialgébrique Lipschitz avec des estimations sur ses dérivés.

We introduce a notion of a smooth \(L^{\infty}\) form on singular (semialgebraic) spaces \(X\) in \(\mathbb{R}^n\). An \(L^\infty\) form is the data of a stratification \(\Sigma\) of \(X\) and a collection of smooth forms \(\omega\) on the nonsingular strata with matching tangential components on the adjacent strata and bounded size (in the metric induced from \(\mathbb{R}^n\)). We prove Stokes’ Theorem and Poincaré’s Lemma for \(L^\infty\) forms. As a result we obtain a De Rham type theorem establishing a natural isomorphism between the singular cohomology and the cohomology of smooth \(L^{\infty}\) forms.

On introduit la notion d’une forme \(L^\infty\) pour des espaces singuliers semialgébriques. Une forme lisse \(L^\infty\) est la donnée d’une stratification et d’une famille de forme lisses sur les strates coincidant le long des strates adjacentes. On prouve la formule de Stokes et le lemme de Poincaré pour les formes \(L^\infty\). On en déduit un théorème de type De Rham établissant un isomorphisme naturel entre la cohomologie des formes \(L^\infty\) et la cohomologie singulière.