Archive - AMS Classification 30H05

In this paper we introduce and study algebras of holomorphic almost periodic functions on regular coverings of Stein manifolds. These functions embrace two famous theories: Bohr’s holomorphic almost periodic functions on tube domains and von~Neumann’s almost periodic functions on groups. For such algebras we obtain results on approximation by analogs of exponential polynomials, on holomorphic extension from almost periodic complex submanifolds and describe the structure of their maximal ideal spaces.

Dans cet article on introduit et étudie des algèbres de fonctions holomorphes presque périodiques sur des revêtements reguliers des variétés de Stein. Ces fonctions unifient deux célèbres théories: les fonctions holomorphes presque périodiques sur des domaines tubulaires (d’après Bohr) et des fonctions presque périodiques sur des groupes (d’après von Neumann). Pour ces algèbres on obtient des résultats sur l’approxima\-tion par des analogues des polynômes exponentiels et sur le prolongement holomorphe des sous-variétés presque périodiques complexes. On décrit aussi la structure de leurs espaces des idéaux maximaux.

We study the algebras of bounded holomorphic functions on the unit disk whose boundary values, having, in a sense, the weakest possible discontinuities, belong to the algebra of semi-almost periodic functions on the unit circle. The latter algebra contains as a special case an algebra introduced by Sarason in connection with some problems in the theory of Toeplitz operators. We show that such algebras have the Grothendieck approximation property, prove the corona theorem for them and formulate some results on the structure of their maximal ideal spaces. Also, we extend the notion of the Bohr–Fourier spectrum to holomorphic semi-almost periodic functions and prove that under certain assumptions on their spectra the corresponding algebras are projective free and their maximal ideal spaces have trivial Čech cohomology groups.

On étudie les algèbres des fonctions holomorphes bornées sur le disque unité dont les valeurs au bord ayant, dans us certain sens, des discontinuités les plus faibles possible, appartiennent á l’algèbre de fonctions semi-presque périodique sur le circle unité. Cette dernière contient, en particulier, une algèbre introduite par Sarason en relation avec certains problèmes de la théorie des opérateurs de Toeplitz. On montre que ces algèbres ont la propriéte d’approximation de Grothendieck; on prouve le theorème corona pour celles-ci et on formule quelques résultats sur la structure de leurs espaces idéaux maximaux. On étend aussi la notion du spectre de Bohr-Fourier à des fonctions holomorphiques semi-presques périodiques et on prouve que sous certaines hypothèses sur leur spectres, tout module projectif des algèbres correspondants est libre et leurs espaces idéaux maximaux ont des cohomologies triviales de Čech.