Archive - AMS Classification 37F20

We prove that every Thurston map can be constructively geometrized in a canonical fashion. According to Thurston’s theorem, a map with hyperbolic orbifold has a canonical geometrization – a combinatorially equivalent postcritically finite rational map of the Riemann sphere – if and only if there is no Thurston obstruction. We follow Pilgrim’s idea of a canonical decomposition of a Thurston map to handle the obstructed case. A key ingredient of our proof is a geometrization result for marked Thurston maps with parabolic orbifolds – an analogue of Thurston’s theorem for the exceptional case not covered by it.

On montre que toute application de Thurston peut être géométrisée de façon constructive et canonique. Selon le théoreme de Thurston, une telle application ayant un orbifold hyperbolique possède une géométrisation canonique, c’est-à-dire une fonction rationnelle combinatoriellement équivalente dont les orbites critiques sont finies, si et seulement s’il n’existe pas d’obstruction de Thurston. On traite le cas où il existe une obstruction en utilisant l’idée de Pilgrim d’une décomposition canonique d’une application de Thurston. L’ingrédient principal de la preuve est un résultat de géométrisation pour les applications de Thurston marquées ayant un orbifold parabolique – un analogue du théorème de Thurston pour le cas exceptionnel.