Archive - AMS Classification 43A62

In this note we characterize the multiplier algebra for the Hilbert space of a commutative hypergroup.

Dans cette note, nous charactérisons l’algèbre des multiplicateurs pour l’espace hilbertien d’un hypergroupe commutatif.

Let \(K\) be a commutative hypergroup and \(\alpha\in \widehat{K}\). We show that \(K\) is \(\alpha\)-amenable with the unique \(\alpha\)-mean \(m_\alpha\) if and only if \(m_\alpha \in L^1(K) \cap L^2(K)\) and \(\alpha\) is isolated in \(\widehat{K}\). In contrast to the case of amenable noncompact locally compact groups, examples of polynomial hypergroups with unique \(\alpha\)-means (\(\alpha \not= 1\)) are given. Further examples emphasize that the \(\alpha\)-amenability of hypergroups depends heavily on the asymptotic behavior of Haar measures and characters.

Soit \(K\) un hypergroupe commutatif et \(\alpha\in \widehat{K}\). Nous montrons que \(K\) est \(\alpha\)-moyennable avec unicité de l’\(\alpha\)-moyenne \(m_\alpha\) si et seulement si \(m_\alpha \in L^1(K) \cap L^2(K)\) et \(\alpha\) est isolé dans \(\widehat{K}\). Contrairement au cas des groupes moyennables localement compacts mais non compacts, des exemples d’hyper-groupes polynomiaux avec unicité des \(\alpha\)-moyennes (\(\alpha \not= 1\)) sont donnés. Nous montrons à l’aide d’autres examples que l’\(\alpha\)-moyennabilité des hypergroupes dépend fortement de leurs mesures de Haar ainsi que du comportement des caractères.