Archive - AMS Classification 47A12

This is a brief summary of results. More detailed papers are in preparation. Preliminary versions of the detailed papers are available on the arxiv.org. We study the theory of Parshin residues from the geometric point of view. In particular, the residue is expressed in terms of an integral over a smooth cycle. The Parshin–Lomadze Reciprocity Law for residues in complex case is proved via a homological relation on these cycles.

The paper consist of two parts. In the first part the theory of Leray coboundary operators for stratified spaces is developed. These operators are used to construct the cycle and prove the homological relation. In the second part resolution of singularities techniques are applied to study local geometry near a complete flag of subvarieties. We give a short introduction to the theory of Parshin residues in the Introduction.

All the constructions are valid both in complex algebraic and complex analytic cases. However, for simplicity of presentation we restrict ourselves to the algebraic case.

Ceci est un bref résumé de résultats. Des articles plus détaillés sont en préparation. Des versions préliminaires de ces articles sont disponibles sur arxiv.org. Nous étudions la théorie des résidus de Parshin d’un point de vue géométrique. En particulier, le résidu est exprimé sous la forme d’une intégrale sur un cycle lisse, et la Loi de Réciprocité de Parshin–Lomadze pour les résidus dans le cas complexe est démontrée par l’intermédiaire d’une relation homologique sur ces cycles. Cet article comporte deux parties. Dans la première la théorie des opérateurs de cobords pour espaces stratifiés est développée et est utilisée pour construire le cycle et démontrer la relation d’homologie. Dans la seconde partie, les techniques de résolution de singularités sont utilisées pour étudier la géométrie locale près d’un drapeau complet de sous-variétés. Nous donnons une courte introduction à la théorie des résidus de Parshin dans l’introduction. Toutes les constructions sont valables dans le cas algébrique complexe et dans le cas analytique complexe. Cependant pour la simplicité de l’exposé on s’est restreint au cas algébrique.