Alexander Brudnyi, Department of Mathematics and Statistics, University of Calgary, Calgary, Alberta T2N 1N4; email: albru@math.ucalgary.ca

We solve an analog of the Poincaré Center-Focus problem for the class of ordinary differential equations \(\frac{dv}{dx}=\sum_{i=1}^{\infty}a_{i}(x)\,v^{i+1}\), such that the first integrals of vectors of their coefficients determine rectangular paths in finite-dimensional complex vector spaces. In particular, we prove that all centers of such equations are universal, i.e., are determined by means of certain composition conditions. Also, we solve the Bautin problem on the number of periodic solutions with sufficiently small initial values for finite-dimensional families of such equations.

Nous résolvons l’analogue du problème du centre-foyer de Poincaré pour les équations différentielles ordinaires \(\frac{dv}{dx}=\sum_{i=1}^{\infty}a_{i}(x)\,v^{i+1}\) telles que les premières intégrales des vecteurs de leurs coefficients déterminent des chemins rectangulaires dans les espaces vectoriels complexes de dimension finie. En particulier, nous démontrons que tous les centres de telles équations sont universelles, c’est-à-dire déterminées par certaines conditions composées. De plus, nous résolvons le problème de Bautin sur le nombre de solutions périodiques ayant des valeurs initiales suffisamment petites pour les familles de dimension finie de telles équations..