Alain Togbe, Mathematics Department, Purdue University North Central, 1401 S, U.S. 421, Westville, IN 46391, USA; email: atogbe@pnc.edu

In this paper, we completely solve the following family of diophantine equations associated with a family of cyclic quartic number fields: \( \Phi_n(x,y)=x^4 - n^2 x^3 y -(n^3+2n^2+4n+2) x^2 y^2 - n^2 x y^3 + y^4 = 1. \) There is no integral solution except for the trivial ones: \((1,0),\; (-1,0),\; (0,1),\; (0,-1).\) We extend a previous result obtained in 2000. In fact, the new result is achieved by sharpening the previous result, using another technique.

Dans cet article, nous résolvons complètement la famille suivante d’équations Diophantiennes associées à une famille de corps de nombres cycliques de degré \(4\): \( \Phi_n(x,y)=x^4 - n^2 x^3 y -(n^3+2n^2+4n+2) x^2 y^2 - n^2 x y^3 + y^4 = 1. \) Il n’existe aucune solution entière à l’exception des solutions triviales: \((1,0),\; (-1,0),\; (0,1),\; (0,-1).\) Nous prolongeons un résultat précédent obtenu en 2000. En réalité, nous utilisons une nouvelle technique pour améliorer le précédent resultat