Mathematical Reports - Comptes rendus mathématiques

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1388 results found.

      
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A Note on $\mathfrak{su}(2)$ Models and the Biorthogonality of Generating Functions of Krawtchouk Polynomials
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 43 (2) 2021, pp. 46-62
Luc Vinet, FRSC; Alexei Zhendanov (Received: 2021/04/03)

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Eigenvalue problems on irreducible \(\mathfrak{su}(2)\) modules and their adjoints are considered in the Bargmann, Barut-Girardello and finite difference models. The biorthogonality relations that arise between the corresponding generating functions of the Krawtchouk polynomials are sorted out. A link with Padé approximation is made.

Des problèmes aux valeurs propres sur les modulesirréductibles de \(\mathfrak{su}(2)\) et leurs adjoints sont examinés dans les modèles de Bargmann, Barut–Girardello et aux différences finies. Les relations de biorthogonalité qui apparaissent entre les fonctions génératrices correspondantes des polynômes de Krawtchouk sont identifiées. Un lien avec l’approximation de Padé est fait.

A Remark on the Functoriality of the Connes-Takesaki Flow of Weights
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 43 (1) 2021, pp. 28-44
George A. Elliott (Received: 2020/09/16, Revised: 2021/02/23)

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The flow of weights was introduced by Connes and Takesaki as a functor on the category of von Neumann algebras with isomorphisms as maps. While it is easy to see that this functor cannot be extended to the category of all von Neumann algebra homomorphisms, it is in fact possible to extend it to a certain extent. This can also be done, fairly extensively, for the Falcone and Takesaki non-commutative flow of weights.

Le flot des poids a été introduit par Connes et Takesaki comme foncteur sur la catégorie des algèbres de von Neumann avec isomorphismes comme flèches. On peut étendre ce foncteur jusqu’à un certain point dans les directions et covariante et contravariante. Le foncteur flot des poids non-commutatif peut aussi s’étendre, bien entendant pas aux homomorphismes arbitraires.

$C^0$ Symplectic Topology
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 43 (1) 2021, pp. 1-27
Francois Lalonde (Received: 2020/10/30, Revised: 2020/11/04)

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In this paper, I explain the emergence of Symplectic geometry and Symplectic topology, as it occurred historically, from three sources: classical and quantum physics, complex Algebraic geometry, and String theory. Symplectic topology is nowadays one of the most fascinating subjects in mathematics, and has reached since the 1980’s a maturity that deserves the attention of all mathematicians and physicists. It combines topology, geometry, non-linear partial differential equations or relations, \(A^{\infty}\) algebras, and String theory in a powerful setting that addresses some of the most elusive questions of our times. It is made of soft \(h\)-principles coupled with hard transcendental, rigid, moduli spaces of solutions to PDE’s on manifolds. I will end the paper with some conjectures in Symplectic topology, after explaining the difference between smooth and \(C^0\) Symplectic topology.

Dans cet article, j’explique l’émergence de la géométrie symplectique et de la topologie symplectique, en suivant leur naissance et leur évolution au cours des siècles, à partir de trois sources: la physique classique et quantique, la géométrie algébrique complexe, et la théorie des cordes. La topologie symplectique est aujourd’hui l’un des domaines les plus fascinants de la recherche mathématique mondiale et a atteint, depuis les années 1980 une maturité qui mérite l’attention de tous les mathématiciens et physiciens. Elle rassemble la topologie, la géométrie, les équations aux dérivées partielles non-linéaires, les \(A^{\infty}\)-algèbres et la théorie des cordes dans une théorie puissante qui s’adresse aux problèmes les plus subtils de notre époque. Elle est faite du \(h\)-principe topologique, une théorie “soft”, couplée à un vaste ensemble d’espaces de modules d’EDP sur les variétés, que l’on peut qualifier de “hard” ou transcendental. Je conclurai cet article avec quelques conjectures en topologie symplectique après avoir expliqué la différence entre les topologies symplectiques lisse et \(C^0\).

A Classification of Finite Simple Amenable Z-stable C*-algebras, II: C*-algebras with Rational Generalized Tracial Rank One
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 42 (4) 2020, pp. 451-539
Guihua Gong; Huaxin Lin; Zhuang Niu (Received: 2020/09/20, Revised: 2021/01/31)

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A classification theorem is obtained for a class of unital simple separable amenable \({\cal Z}\)-stable C*-algebras which exhausts all possible values of the Elliott invariant for unital stably finite simple separable amenable \({\cal Z}\)-stable C*-algebras. Moreover, it contains all unital simple separable amenable C*-algebras which satisfy the UCT and have finite rational tracial rank.

Dans cet article et le précédent on donne une classification complète, au moyen de l’invariant d’Elliott, d’une sous-classe de la classe des C*-algèbres simples, moyennables, séparables, à élément unité, absorbant l’algèbre de Jiang-Su, et satisfaisant au UCT, qui épuise l’ensemble des valeurs possibles de l’invariant pour cette class. La partie I réalise une grande partie de ce projet, et la partie II l’achève.

A Classification of Finite Simple Amenable Z-stable C*-algebras, I: C*-algebras with Generalized Tracial Rank One
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 42 (3) 2020, pp. 63-450
Guihua Gong; Huaxin Lin; Zhuang Niu (Received: 2020/09/20, Revised: 2021/01/31)

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A class of C*-algebras, to be called those of generalized tracial rank one, is introduced. A second class of unital simple separable amenable C*-algebras, those whose tensor products with UHF-algebras of infinite type are in the first class, to be referred to as those of rational generalized tracial rank one, is proved to exhaust all possible values of the Elliott invariant for unital finite simple separable amenable \({\cal Z}\)-stable C*-algebras. A number of results toward the classification of the second class are presented including an isomorphism theorem for a special sub-class of the first class, leading to the general classification of all unital simple s with rational generalized tracial rank one in Part II.

Dans cet article et le prochain, on donne une classification complète, au moyen de l’invariant d’Elliott, d’une sous-classe de la classe des C*-algèbres simples, moyennables, séparables, à élément unité, absorbant l’algèbre de Jiang-Su, et satisfaisant au UCT, qui épuise l’ensemble des valeurs possibles de l’invariant pour cette class. La partie I réalise une grande partie de ce projet, et la partie II l’achève.

The Atiyah-Bott Lefschetz Formula Applied to the Based Loops on SU(2)
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 42 (3) 2020, pp. 42-62
Jack Ding (Received: 2020/07/23, Revised: 2020/10/01)

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The Atiyah-Bott-Lefschetz Formula is a well-known formula for computing the equivariant index of an elliptic operator on a compact smooth manifold. We provide an analogue of this formula for the based loop group \(\Omega SU(2)\) with respect to the natural \((T \times S^1)\)-action. From this result we also derive an effective formula for computing characters of certain Demazure modules.

La formule d’Atiyah-Bott-Lefschetz est une formule bien connue pour l’indice équivariante d’un opérateur elliptique sur une variété lisse compacte. Nous donnons une analogue de cette formule pour le groupe de lacets basés \(\Omega SU(2)\) par rapport à l’action naturelle de \(T \times S^1\). Avec ce résultat nous démontrons aussi une formule effective pour les caractères de certains modules de Demazure.

The Surprising Power of Averaging over Groups
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 42 (3) 2020, pp. 38-41
James Hogan; Samuel Li (Received: 2020/09/20)

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We highlight the surprising power of averaging via a few illuminating examples. Two of these problems involve characterizations of Hilbert space, and the third is a fundamental result in noncommutative geometry.

Nous soulignons le pouvoir surprenant de la moyenne par quelques exemples éclairants. Deux de ces problèmes concernent la caractérisation de l’espace de Hilbert, et le troisième est un résultat fondamental en géométrie non commutative.

Gaussian Primes
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 42 (3) 2020, pp. 30-37
J. B. Friedlander (Received: 2020/09/30)

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We survey some of the many interesting questions and results that accrue to the prime numbers which are the sum of two squares.

On survole quelques-uns des plusieurs questions et résultats intéressants qui s’accroissent aux nombres premiers qui sont la somme de deux carrés.

Retraction Notice – Generalizing Stein’s Lemma
Online First
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Moawia Alghalith, Generalizing Stein’s Lemma, C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada 42 (2020), pp. 21–24.

This article has been retracted on the request of the author.

The author is indebted to the author of the article immediately preceding this notice,

Christian Genest, On an extension of Stein’s Lemma, C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada 42 (2020), pp. 25–28,

for pointing out the erroneous nature of the article in question.

On an Extension of Stein’s Lemma
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 42 (2) 2020, pp. 25-28
Christian Genest (Received: 2020/06/15, Revised: 2020/06/15)

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An extension of Stein’s lemma to arbitrary random pairs was recently proposed in the preceding article. It is shown that this generalization is valid only for linear functions and hence trivial.

Une généralisation du lemme de Stein à toute paire d’aléas a récemment été proposée dans l’article précédent. On montre que cette extension n’est valable que pour les fonctions affines et qu’elle est donc triviale.

[Note: By special arrangement this article is open access]

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