Mathematical Reports - Comptes rendus mathématiques

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1373 results found.

      
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A Positive-Definite Energy Functional for Axially Symmetric Maxwell’s Equations on Kerr-de Sitter Black Hole Spacetimes
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 40 (2) 2018, pp. 39-54
Nishanth Gudapati (Received: 2017/11/04, Revised: 2018/04/06)

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We prove that there exists a phase space of canonical variables, for the initial value problem for axially symmetric Maxwell fields with compactly supported initial data and propagating in Kerr-de Sitter black hole spacetimes, such that their motion is restricted to the level sets of a positive-definite Hamiltonian, despite the ergo-region.

On démontre qu’il existe un espace de phase de variables canoniques, pour le problème des valeurs initials pour les champs de Maxwell symétriques à donneés initiales de support compact et à propagation dans les espaces-temps de trou noir Kerr-de Sitter, tel que leur motion est restrainte aux ensembles de niveau d’une hamiltonienne de type positif, en dépit de l’ergo-région.

Perfect Powers that are Sums of Consecutive Squares
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 40 (2) 2018, pp. 33-38
Vandita Patel (Received: 2017/08/08, Revised: 2017/09/11)

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We determine all perfect powers that can be written as the sum of at most 10 consecutive squares.

Nous déterminons toutes les puisances \(n\)-ièmes qui peuvent être écrits comme la somme d’au plus 10 carrés consécutifs.

A Note on the Lipschitz Selection
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 40 (1) 2018, pp. 29-32
Alexander Brudnyi (Received: 2018/01/02, Revised: 2018/01/10)

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We present an alternate proof of the passage from the finiteness principle for metric trees to the construction of the core in the C. Fefferman and Shvartsman finiteness theorem for Lipschitz selection problems.

On présente une preuve alternative du passage du principe de la finitude pour les arbres métriques jusqu’à la construction du noyau dans le théorème de finitude de C. Fefferman et Shvartsman pour la sélection des problèmes Lipschitz.

Almost Periodicity in Time of Solutions of the Toda Lattice
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 40 (1) 2018, pp. 1-28
Ilia Binder; David Damanik; Milivoje Lukic; Tom VandenBoom (Received: 2017/11/11, Revised: 2017/12/21)

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We study an initial value problem for the Toda lattice with almost periodic initial data. We consider initial data for which the associated Jacobi operator is absolutely continuous and has a spectrum satisfying a Craig-type condition, and show the boundedness and almost periodicity in time and space of solutions.

On étudie un problème de Cauchy pour le système Toda avec des conditions initiales presque périodiques. On considère des conditions initiales pour lesquelles l’opérateur de Jacobi associé est absolument continu et a un spectre qui satisfait à une condition à la façon de Craig, afin de montrer que les solutions sont bornées et presque périodiques dans la variable spatiale aussi que temporelle.

The Structure of Deitmar Schemes, II. Zeta Functions and Automorphism Groups
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 39 (4) 2017, pp. 142-152
Manuel M\'erida-Angulo; Koen Thas (Received: 2017/08/01, Revised: 2017/09/01)

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We provide a coherent overview of a number of recent results obtained by the authors in the theory of schemes defined over the field with one element. Essentially, this theory encompasses the study of a functor which maps certain geometries including graphs to Deitmar constructible sets with additional structure, as such introducing a new zeta function for graphs. The functor is then used to determine the automorphism groups of the Deitmar constructible sets and their base extensions to fields.

Nous donnons une vue d’ensemble d’une nombre de résultats récents qui ont été obtenus par les auteurs dans le domaine de la théorie des schémas sur le corps à un élément. Principalement, cette théorie concerne l’étude d’un foncteur qui envoie certaines géométries (y compris les graphes) sur un ensemble constructible de Deitmar avec une structure additionnelle. De cette manière on introduit aussi une nouvelle fonction zeta pour les graphes. Le foncteur est ensuite utilisé pour déterminer les groupes d’automorphismes des ensembles constructibles de Deitmar et de ceux obtenus après une extension de base à d’autres corps.

On Properties of Geometric Preduals of ${\mathbf C^{k,\omega}}$ Spaces
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 39 (4) 2017, pp. 133-141
Alexander Brudnyi (Received: 2017/07/13, Revised: 2017/07/14)

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Let \(C_b^{k,\omega}({\mathbb R}^n)\) be the Banach space of \(C^k\) functions on \({\mathbb R}^n\) bounded together with all derivatives of order \(\le k\) and with derivatives of order \(k\) having moduli of continuity majorated by \(c\cdot\omega\), \(c\in{\mathbb R}_+\), for some \(\omega\in C({\mathbb R}_+)\). Let \(C_b^{k,\omega}(S):=C_b^{k,\omega}({\mathbb R}^n)|_S\) be the trace space to a closed subset \(S\subset{\mathbb R}^n\). The geometric predual \(G_b^{k,\omega}(S)\) of \(C_b^{k,\omega}(S)\) is the minimal closed subspace of the dual \(\bigl(C_b^{k,\omega}({\mathbb R}^n)\bigr)^*\) containing evaluation functionals of points in \(S\). We study geometric properties of spaces \(G_b^{k,\omega}(S)\) and their relations to the classical Whitney problems on the characterization of trace spaces of \(C^k\) functions on \({\mathbb R}^n\).

Soit \(C_b^{k, \omega} ({\mathbb R}^n)\) l’espace de Banach des fonctions \(C^k\) sur \({\mathbb R}^n\) bornées avec toutes leurs dérivées d’ordre jusqu’à \(k\) et avec les dérivées d’ordre \(k\) ayant des modules de continuité majorés par \(c \cdot \omega\), \(c \in {\mathbb R}_+\), pour quelque \(\omega \in C ({\mathbb R}_+)\). Soit \(C_b ^ {k, \omega} (S): = C_b^{k, \omega} ({\mathbb R}^n) |_S\) l’espace de trace à un fermé \(S\subset{\mathbb R} ^ n\). Le predual géométrique \(G_b^{k, \omega}(S)\) de \(C_b^{k, \omega} (S)\) est le sous-espace minimal fermé du dual \(\bigl (C_b^ {k, \omega} ({\mathbb R}^n) \bigr)^*\) contenant les fonctionnelles d’évaluation aux points de \(S\). Nous étudions les propriétés géométriques des espaces \(G_b^{k, \omega} (S)\) et leur relation avec les problèmes classiques de Whitney sur la caractérisation des espaces de trace des fonctions \(C^k\) sur \({\mathbb R}^n\).

Grauert and Ramspott Type Theorems on the Maximal Ideal Space of ${\mathbf H^\infty}$
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 39 (4) 2017, pp. 116-132
Alexander Brudnyi (Received: 2017/07/03, Revised: 2017/07/06)

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The classical Grauert and Ramspott theorems constitute the foundation of the Oka principle on Stein spaces. In this paper we establish analogous results on the maximal ideal space \(M(H^\infty)\) of the Banach algebra \(H^\infty\) of bounded holomorphic functions on the open unit disk \({\mathbb D}\subset{\mathbb C}\). We illustrate our results by some examples and applications to the theory of operator-valued \(H^\infty\) functions.

Les théorèmes classiques de Grauert et Ramspott constituent la base du principe d’Oka par rapport aux espaces Stein. Dans cet article, nous démontrons des résultats analogues sur l’espace idéal maximal \(M(H^\infty)\) de l’algèbre de Banach \(H^\infty\) des fonctions holomorphes bornées sur une disque d’unité ouverte \({\mathbb D} \subset{\mathbb C}\). Nous présentons nos résultats avec des exemples et des applications à la théorie des fonctions \(H^\infty\) évaluées par l’opérateur.

Tilings Defined by Root Systems of Kac-Moody Algebras
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 39 (3) 2017, pp. 103-115
Yuan Yao (Received: 2017/06/06, Revised: 2017/06/07)

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For root systems of symmetrizable Kac-Moody algebras, we study a tiling of the positive root cone of the form \(\bigcup_{w\in W} (1-w) C ^+\), where \(W\) is the Weyl group and \(C^+\) is the fundamental chamber. We show for general symmetrizable Kac-Moody algebras the tiles are disjoint, and the gaps between top dimensional tiles have codimension \(\geq2\). For affine Kac-Moody algebras we completely describe the closure \(\bigcup_{w\in W} \overline{(1-w) C ^+}\).

Pour les systèmes des racines d’algèbres de Kac-Moody symétriques, nous étudions un carrelage du cône des racines positifs de la forme \(\bigcup_{w\in W} (1-w) C ^+\), où \(W\) est le groupe de Weyl et \( C^+ \) est la chambre fondamentale. Nous montrons que les carreaux sont disjoints pour les algèbres de Kac-Moody symétriques, et les lacunes entre les carreaux de dimension supérieure ont codimension \(\geq 2\). Pour les algèbres de Kac-Moody affines, nous décrivons complètement \(\bigcup_{w\in W} \overline{(1-w) C ^+}\).

Discrete Invariants of Generically Inconsistent Systems of Laurent Polynomials
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 39 (3) 2017, pp. 90-102
Leonid Monin (Received: 2017/03/17, Revised: 2017/04/17)

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Let \( \mathcal{A}_1, \ldots, \mathcal{A}_k \) be finite sets in \( \mathbb{Z}^n \) and let \( Y \subset (\mathbb{C}^*)^n \) be an algebraic variety defined by a system of equations \[f_1 = \ldots = f_k = 0,\] where \( f_1, \ldots, f_k \) are Laurent polynomials with supports in \(\mathcal{A}_1, \ldots, \mathcal{A}_k\). Assuming that \( f_1, \ldots, f_k \) are sufficiently generic, the Newton polyhedron theory computes discrete invariants of \( Y \) in terms of the Newton polyhedra of \( f_1, \ldots, f_k \). It may appear that the generic system with fixed supports \( \mathcal{A}_1, \ldots, \mathcal{A}_k \) is inconsistent. In this paper, we compute discrete invariants of algebraic varieties defined by systems of equations which are generic in the set of consistent system with support in \( \mathcal{A}_1, \ldots, \mathcal{A}_k\) by reducing the question to the Newton polyhedra theory. Unlike the classical situation, not only the Newton polyhedra of \(f_1,\dots,f_k\), but also the supports \(\mathcal{A}_1,\dots,\mathcal{A}_k\) themselves appear in the answers.

Soit \( \mathcal{A}_1, \ldots, \mathcal{A}_k \) un ensemble fini dans \( \mathbb{Z}^n \) et soit \( Y \subset (\mathbb{C}^*)^n \) une variété algébrique définie par un système d’équations \[f_1 = \ldots = f_k = 0,\] où \( f_1, \ldots, f_k \) sont les polynômes de Laurent avec support dans \(\mathcal{A}_1, \ldots, \mathcal{A}_k\). Supposant que \( f_1, \ldots, f_k \) soient suffisamment génériques, la théorie du polyèdre de Newton calcule les invariants discrets de \( Y \) en fonction du polyèdre de Newton de \( f_1, \ldots, f_k \). Il peut sembler que le système avec support fixe \( \mathcal{A}_1, \ldots, \mathcal{A}_k \) est inconsistent. Dans ce papier, nous calculons les invariants discrets des variétés algébriques définies par des systèmes d’équations qui sont génériques dans l’ensemble des systèmes cohérents avec support dans \( \mathcal{A}_1, \ldots, \mathcal{A}_k\) en réduisant la question à la théorie du polyèdre de Newton. Contrairement à la situation classique, non seulement le polyèdre de Newton de \(f_1,\dots,f_k\), mais aussi les supports \(\mathcal{A}_1,\dots,\mathcal{A}_k\) eux-mêmes apparaissent dans la solution.

Renormalization of Unicritical Analytic Circle Maps
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 39 (3) 2017, pp. 77-89
Michael Yampolsky (Received: 2016/09/26, Revised: 2016/12/23)

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In this paper we generalize renormalization theory for analytic critical circle maps with a cubic critical point to the case of maps with an arbitrary odd critical exponent by proving a quasiconformal rigidity statement for renormalizations of such maps.

Dans cet article on généralise la théorie de la renormalisation pour les transformations criticales analytiques du circle à point critical cubique au cas de transformations à exposant critical impair arbitraire, en démontrant une affirmation de rigidité quasi-conforme.

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