Mathematical Reports - Comptes rendus mathématiques

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1375 results found.

      
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Discrete Invariants of Generically Inconsistent Systems of Laurent Polynomials
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 39 (3) 2017, pp. 90-102
Leonid Monin (Received: 2017/03/17, Revised: 2017/04/17)

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Let \( \mathcal{A}_1, \ldots, \mathcal{A}_k \) be finite sets in \( \mathbb{Z}^n \) and let \( Y \subset (\mathbb{C}^*)^n \) be an algebraic variety defined by a system of equations \[f_1 = \ldots = f_k = 0,\] where \( f_1, \ldots, f_k \) are Laurent polynomials with supports in \(\mathcal{A}_1, \ldots, \mathcal{A}_k\). Assuming that \( f_1, \ldots, f_k \) are sufficiently generic, the Newton polyhedron theory computes discrete invariants of \( Y \) in terms of the Newton polyhedra of \( f_1, \ldots, f_k \). It may appear that the generic system with fixed supports \( \mathcal{A}_1, \ldots, \mathcal{A}_k \) is inconsistent. In this paper, we compute discrete invariants of algebraic varieties defined by systems of equations which are generic in the set of consistent system with support in \( \mathcal{A}_1, \ldots, \mathcal{A}_k\) by reducing the question to the Newton polyhedra theory. Unlike the classical situation, not only the Newton polyhedra of \(f_1,\dots,f_k\), but also the supports \(\mathcal{A}_1,\dots,\mathcal{A}_k\) themselves appear in the answers.

Soit \( \mathcal{A}_1, \ldots, \mathcal{A}_k \) un ensemble fini dans \( \mathbb{Z}^n \) et soit \( Y \subset (\mathbb{C}^*)^n \) une variété algébrique définie par un système d’équations \[f_1 = \ldots = f_k = 0,\] où \( f_1, \ldots, f_k \) sont les polynômes de Laurent avec support dans \(\mathcal{A}_1, \ldots, \mathcal{A}_k\). Supposant que \( f_1, \ldots, f_k \) soient suffisamment génériques, la théorie du polyèdre de Newton calcule les invariants discrets de \( Y \) en fonction du polyèdre de Newton de \( f_1, \ldots, f_k \). Il peut sembler que le système avec support fixe \( \mathcal{A}_1, \ldots, \mathcal{A}_k \) est inconsistent. Dans ce papier, nous calculons les invariants discrets des variétés algébriques définies par des systèmes d’équations qui sont génériques dans l’ensemble des systèmes cohérents avec support dans \( \mathcal{A}_1, \ldots, \mathcal{A}_k\) en réduisant la question à la théorie du polyèdre de Newton. Contrairement à la situation classique, non seulement le polyèdre de Newton de \(f_1,\dots,f_k\), mais aussi les supports \(\mathcal{A}_1,\dots,\mathcal{A}_k\) eux-mêmes apparaissent dans la solution.

Renormalization of Unicritical Analytic Circle Maps
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 39 (3) 2017, pp. 77-89
Michael Yampolsky (Received: 2016/09/26, Revised: 2016/12/23)

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In this paper we generalize renormalization theory for analytic critical circle maps with a cubic critical point to the case of maps with an arbitrary odd critical exponent by proving a quasiconformal rigidity statement for renormalizations of such maps.

Dans cet article on généralise la théorie de la renormalisation pour les transformations criticales analytiques du circle à point critical cubique au cas de transformations à exposant critical impair arbitraire, en démontrant une affirmation de rigidité quasi-conforme.

Polynomial Power Residue Symbols and $q$-resultants
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 39 (2) 2017, pp. 60-66
Yoshinori Hamahata (Received: 2016/03/17, Revised: 2016/05/22)

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We establish a relation between polynomial power residue symbols and \(q\)-resultants of \(\mathbb{F}_q\)-linear polynomials. We then establish the \(q-1\)-st power reciprocity law.

On établit une relation entre le symbole de résidu de puissances en caractéristique \(p\) et le \(q\)-résultant de deux \(\mathbb{F}_q\)-polynômes linéaire. Alors on démontre la loi de réciprocité des puissances \(q-1\)-èmes.

Cauchy Problem on Two Characteristic Hypersurfaces for the Einstein-Vlasov Scalar Field Equations in Temporal Gauge
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 39 (2) 2017, pp. 45-59
Marcel Dossa; Jean Baptiste Patenou (Received: 2015/12/01, Revised: 2016/05/16)

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In this paper, we consider the initial value problem for the Einstein-Vlasov scalar field equations in temporal gauge, where the initial data are prescribed on two characteristic smooth intersecting hypersurfaces. From a suitable choice of some free data, the initial data constraints’s problem is solved globally, then the evolution problem relative to the deduced initial data is solved locally in time.

Dans cet article, on considère le problème de Cauchy pour les équations d’Einstein-Vlasov-Champ scalaire en jauge temporelle, dans le cas où les données initiales sont préscrites sur deux hypersurfaces caractéristiques régulières sécantes. A partir d’un choix judicieux de certaines données indépendantes, le problème des contraintes initiales est globalement résolu, et ensuite le problème de l’évolution relatif aux données initiales déduites est résolu localement dans le temps.

Absence of Non-commutative Matrix Observables for q-State Potts Models
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 39 (1) 2017, pp. 36-44
James McVittie (Received: 2015/12/28, Revised: 2016/03/02)

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This article is an expository work introducing the subject of lattice models in statistical physics and the types of observables that can be used to prove convergence, as well as a proof for the q-state Potts model showing that non-commutative matrix observables do not exist.

Cet article est une introduction au sujet des modèles sur réseau en physique statistique et les types d’observables qui peuvent être utilisées pour démontrer la convergence, et aussi une démonstration qu’il n’existe pas d’observable matricielle non-commutative pour le modèle “q-state Potts”.

Comments Related to Infinite Wedge Representations
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 39 (1) 2017, pp. 13-35
Nathan Grieve (Received: 2016/06/30, Revised: 2016/11/07)

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We study the infinite wedge representation and show how it is related to the universal central extension of \(g[t,t^{-1}]\), the loop algebra of a complex semi-simple Lie algebra \(g\). We also give an elementary proof of the boson-fermion correspondence. Our approach to proving this result is based on a combinatorial construction combined with an application of the Murnaghan-Nakayama rule.

Nous étudions l’algèbre extérieure en dimension infinie et montrons comment elle est reliée à l’extension centrale universelle de \(g[t,\!t^{-1}]\), l’algèbre de lacets sur une algèbre de Lie \(g\) semi-simple complexe. De plus, nous donnons une preuve élémentaire de la correspondance boson-fermion. Pour ce faire, nous utilisons une construction combinatoire, ainsi que la règle de Murnaghan-Nakayama.

Composition Series for Degenerate Principal Series of ${GL}(n)$
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 39 (1) 2017, pp. 1-12
Dmitry Gourevitch (Received: 2015/11/01, Revised: 2016/01/31)

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In this note we consider representations of the group \(GL(n,F)\), where \(F\) is the field of real or complex numbers or, more generally, an arbitrary local field, in the space of equivariant line bundles over Grassmannians over the same field \(F\). We study reducibility and composition series of such representations.

Similar results were obtained already in [4,20,31], but we give a short uniform proof in the general case, using the tools from [7]. We also indicate some applications to cosine transforms in integral geometry.

Dans cette note on considère des représentations du groupe \(GL(n,F)\), où \(F\) est le corps des nombres réels ou complexes ou plus généralement, un corps local arbitraire, dans l’espace de fibres en droites équivariants sur des Grassmanniennes sur le même corps \(F\). On étudie la réductibilité et la suite de composition de telles représentations.

Des résultats similaires ont déjà été obtenus dans [4,20,31], mais nous présentons une courte preuve dans le cas général en utilisant les outils de [7]. On donne aussi quelques applications aux transformées en cosinus en géométrie intégrale.

Group Actions on Filtered Modules and Finite Determinacy. Finding Large Submodules in the Orbit by Linearization
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 38 (4) 2016, pp. 113-155
Genrich Belitskii; Dmitry Kerner (Received: 2015/07/20, Revised: 2016/01/27)

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Let \(M\) be a module over a local ring \(R\) and a group action \(G\circlearrowright M\), not necessarily \(R\)-linear. To understand how large is the \(G\)-orbit of an element \(z\in M\) one looks for the large submodules of \(M\) lying in \(Gz\). We provide the corresponding (necessary/sufficient) conditions in terms of the tangent space to the orbit, \(T_{(Gz,z)}\).

This question originates from the classical finite determinacy problem of Singularity Theory. Our treatment is rather general, in particular we extend the classical criteria of Mather (and many others) to a broad class of rings, modules and group actions.

When a particular ‘deformation space’ is prescribed, \(\Sigma\subseteq M\), the determinacy question is translated into the properties of the tangent spaces, \(T_{(Gz,z)}\), \(T_{(\Sigma,z)}\), and in particular to the annihilator of their quotient, \(ann\,{T_{(\Sigma,z)}}/{T_{(Gz,z)}}\).

Etant donné une action d’un groupe sur un module, \(G\circlearrowright M\), et un élément \(z\in M\), on étudie le plus grand sous-module de \(M\) contenu dans l’orbite \(Gz\). On donne des conditions nécessaires et suffisantes décrivant ce module en termes de l’espace tangent a l’orbite, \(T_{(Gz,z)}\). Cela prolonge les critères classiques de la théorie des singularités à une large classe d’anneaux, modules, et actions de groupes.

Cartan-Remez Type Inequalities for Analytic and Plurisubharmonic Functions
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 38 (3) 2016, pp. 99-112
Alexander Brudnyi (Received: 2015/10/29, Revised: 2015/11/30)

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Recently there has been a considerable interest in Cartan-Remez type inequalities in connection with various problems of analysis. In this paper we formulate and prove several basic results in this area and describe some of their applications. The text is based on the material of the minicourse given by the author at the workshop on Analytic Microlocal Analysis held at the Northwestern University in May 2013.

Récemment, il y a eu un intérêt considérable aux inégalités de types de Cartan-Remez dans le cadre de divers problèmes de l’analyse. Dans cet article, nous formulons et nous démontrons plusieurs résultats de base dans ce domaine et nous décrivons certaines de leurs applications. Le texte est basé sur le matériau de la mini-course donnée par l’auteur à l’atelier sur l’analyse analytique microlocale tenu à l’Université Northwestern en mai 2013.

Divergent Series: Past, Present, Future …
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 38 (3) 2016, pp. 85-98
Christiane Rousseau (Received: 2015/02/11, Revised: 2015/10/11)

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The paper presents some reflections of the author on divergent series and their role and place in mathematics over the centuries. The point of view presented here is limited to differential equations and dynamical systems.

L’article présente quelques réflexions de l’auteure sur les séries divergentes, et leur rôle et place en mathématiques au courant des siècles. Le point de vue présenté ici est limité aux équations différentielles et aux systèmes dynamiques.

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