N. Sarig, Department of Mathematics, The Weizmann Institute of Science, Rehovot 76100, Israel; e-mail: niv.sargi@weizmann.ac.il

Y. Yomdin, Department of Mathematics, The Weizmann Institute of Science, Rehovot 76100, Israel; e-mail: yosef.yomdin@weizmann.ac.il

We consider the problem of reconstruction of a non-linear finite-parametric model \(M=M_p(x)\) with \(p=(p_1,\dots,p_r)\) a set of parameters, from a set of measurements \(m_j(M)\). In this paper \(m_j(M)\) are always the moments \(m_j(M)=\int x^jM_p(x)\,dx\). This problem is a central one in signal processing, statistics, and in many other applications.

We concentrate on a direct (and somewhat ``naive“) approach to the above problem: we simply substitute the model function \(M_p(x)\) into the measurements \(m_j\) and compute explicitly the resulting ``symbolic” expressions of \(m_j(M_p)\) in terms of the parameters \(p\). Equating these ``symbolic" expressions to the actual measurement results, we produce a system of nonlinear equations in the parameters \(p\), which we then try to solve.

The aim of this paper is to review some recent results in this direction, stressing the algebraic structure of the arising systems and mathematical tools required for their solution.

In particular, we discuss the relation of the reconstruction problem above with recent results on the vanishing problem for generalized polynomial moments and on the Cauchy-type integrals of algebraic functions.

Nous étudions le problème de reconstruction d’un modèle non-linéaire parametrisé \(M=M_p(x)\), aux paramètres \(p=(p_1,\dots,p_r)\), à partir d’un ensemble de mesures \(m_j(M)\). Dans cet article les \(m_j(M)\) sont des moments \(m_j(M)=\int x^j M_p(x) \,dx\). Ce problème est central dans le traitement du signal, dans les statistiques et dans bien d’autres domaines.

Nous nous concentrons sur une approche directe (et un peu ``naîve“) du problème décrit ci-dessus: nous substituons simplement la fonction modèle \(M_p(x)\) dans les mesures \(m_j\) et calculons explicitement l’expression symbolique résultant de \(m_j(M_p)\) en fonction des paramètres \(p\). En comparant ces expressions ``symboliques” aux vraix valeurs des mesures, nous produisons un système d’équations non-linéaires en \(p\), que nous essayons de résoudre.

Le but de cet article est d’examiner des résultats récents qui vont dans cette direction, tout en insistant sur la structure algébrique des systèmes qui interviennent et des outils mathématiques nécessaires pour leur solution.

En particulier nous discuterons la relation du problème de reconstruction décrit ci-dessus aux résultats récents sur le problème des zéros des moments polynomiaux généralisés et sur les intégrales du type Cauchy des fonctions algébriques.