Mathematical Reports - Comptes rendus mathématiques

of the Academy of Science | de l'Académie des sciences

  • Home
  • Articles
  • News
  • Editorial Board
  • General Information
    • Preparation of Manuscripts
    • Subscription Information
    • FAQ
    • Help

March 25, 2015 By

Signal Acquisition from Measurements via Non-Linear Models

C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 29 (4) 2007, pp. 97–114

December 30, 2007

N. Sarig, Department of Mathematics, The Weizmann Institute of Science, Rehovot 76100, Israel; e-mail: niv.sargi@weizmann.ac.il

Y. Yomdin, Department of Mathematics, The Weizmann Institute of Science, Rehovot 76100, Israel; e-mail: yosef.yomdin@weizmann.ac.il

Abstract/Résumé:

We consider the problem of reconstruction of a non-linear finite-parametric model \(M=M_p(x)\) with \(p=(p_1,\dots,p_r)\) a set of parameters, from a set of measurements \(m_j(M)\). In this paper \(m_j(M)\) are always the moments \(m_j(M)=\int x^jM_p(x)\,dx\). This problem is a central one in signal processing, statistics, and in many other applications.

We concentrate on a direct (and somewhat ``naive“) approach to the above problem: we simply substitute the model function \(M_p(x)\) into the measurements \(m_j\) and compute explicitly the resulting ``symbolic” expressions of \(m_j(M_p)\) in terms of the parameters \(p\). Equating these ``symbolic" expressions to the actual measurement results, we produce a system of nonlinear equations in the parameters \(p\), which we then try to solve.

The aim of this paper is to review some recent results in this direction, stressing the algebraic structure of the arising systems and mathematical tools required for their solution.

In particular, we discuss the relation of the reconstruction problem above with recent results on the vanishing problem for generalized polynomial moments and on the Cauchy-type integrals of algebraic functions.

Nous étudions le problème de reconstruction d’un modèle non-linéaire parametrisé \(M=M_p(x)\), aux paramètres \(p=(p_1,\dots,p_r)\), à partir d’un ensemble de mesures \(m_j(M)\). Dans cet article les \(m_j(M)\) sont des moments \(m_j(M)=\int x^j M_p(x) \,dx\). Ce problème est central dans le traitement du signal, dans les statistiques et dans bien d’autres domaines.

Nous nous concentrons sur une approche directe (et un peu ``naîve“) du problème décrit ci-dessus: nous substituons simplement la fonction modèle \(M_p(x)\) dans les mesures \(m_j\) et calculons explicitement l’expression symbolique résultant de \(m_j(M_p)\) en fonction des paramètres \(p\). En comparant ces expressions ``symboliques” aux vraix valeurs des mesures, nous produisons un système d’équations non-linéaires en \(p\), que nous essayons de résoudre.

Le but de cet article est d’examiner des résultats récents qui vont dans cette direction, tout en insistant sur la structure algébrique des systèmes qui interviennent et des outils mathématiques nécessaires pour leur solution.

En particulier nous discuterons la relation du problème de reconstruction décrit ci-dessus aux résultats récents sur le problème des zéros des moments polynomiaux généralisés et sur les intégrales du type Cauchy des fonctions algébriques.

Keywords: moment inversion, non-linear models, signal acquisition
AMS Subject Classification: General nonlinear regression 62J02

[This journal is open access except for the current year and the preceding 5 years]

PDF(click to download): Signal Acquisition from Measurements via Non-Linear Models

Filed Under: Uncategorized

 Volume / Issue

Most used Keywords

algebraic number theory approximation property automorphisms Bessel functions Boson-fermion correspondence C*-algebra Carmichael number center problem Chebyshev transform Classification of simple C*-algebras composition operators continued fractions Cuntz Semigroup cycles of ideals elliptic curves fixed point Fourier transform function fields. general relativity generic property ideals indefinite inner product inductive limits of sub-homogeneous C*- algebras Irrational rotation algebra J-Hermitian matrix K-theory Kahler manifolds L-functions maximal ideal space nonexpansive mapping noninterlacing numerical range orthogonal polynomials Predual space prime number property SP quadratic forms Renormalization rotation algebras Salem number semi-reciprocal polynomials tracially approximate splitting interval algebras unbounded traces Weak Markov set Whitney problems

Most used AMS

05C05 11A07 11A55 11B37 11B68 11D09 11D25 11D41 11E04 11F67 11G05 11R09 11R11 13B25 14J26 14M25 14P10 17B37 17B67 19K56 26A51 30C15 30H05 35B 37E10 37E20 37F20 37F25 39B72 42C05 43A07 43A62 46B20 46L05 46L35 46L40 46L55 46L80 47H10 53B25 53C55 54C60 60F10 60J75 83C05

Be notified of new issues

Copyright © 2021 · The Royal Society of Canada | La Société royale du Canada · Log in