Mathematical Reports - Comptes rendus mathématiques
of the Academy of Science | de l'Académie des sciences
We show that the following properties of the \({\rm C^*}\)-algebras in a class \(\Omega\) are inherited by simple unital \({\rm C^*}\)-algebras in the class \({\rm TA}\Omega\): \((1)\) \(\beta\)-comparison (\(1\leq \beta < \infty\)), \((2)\) \(n\)-comparison, \((3)\) trace \(\mathcal{Z}\)– absorption, \((4)\) \(m\)-almost divisibility, \((5)\) \((n,m) ~(m\neq 0)\) comparison, and \((6)\) tracial approximate divisibility. As an application, every unital simple \({\rm C^*}\)-algebra with tracial topological rank at most \(k\) has the property of \(k\)-comparison. Also as an application, let \(A\) be an infinite-dimensional simple unital \({\rm C^*}\)-algebra such that \(A\) has one of the above-listed properties. Suppose that \(\alpha: G\to {\rm Aut}(A)\) is an action of a finite group \(G\) on \(A\) which has the tracial Rokhlin property. Then the crossed product \({\rm C^*}\)-algebra \({\rm C^*}( G, A,\alpha)\) also has the property under consideration.
On considère plusieurs propriétés d’une C*-algèbre simple à élément unité qui sont héritées par approximation traciale. Comme application on démontre que ces propriétés sont aussi héritées par la C*-algèbre produit croisé associée à une action d’un groupe fini qui possède la propriété de Rokhlin traciale.
It is shown that the Cuntz semigroup of a space with dimension at most two, and with second cohomology of its compact subsets equal to zero, is isomorphic to the ordered semigroup of lower semicontinuous functions on the space with values in the natural numbers with the infinity adjoined. This computation is then used to obtain the Cuntz semigroup of all compact surfaces. A converse to the first computation is also proven: if the Cuntz semigroup of a separable C*-algebra is isomorphic
Il est montré que le semi-groupe de Cuntz d’un espace de dimension au plus deux, et avec cohomologie deuxième de ses sous-ensembles compacts égales à zéro, est isomorphe au semi-groupe ordonné de fonctions semi-continue inférieurement sur l’espace de baisse avec des valeurs au entiers naturels augmentée à l’infini. Ce calcul est ensuite utilisé pour obtenir le semi-groupe de Cuntz de toutes les surfaces compacts. Un inverse du premier calcul est également prouvé: si le semi-groupe de Cuntz d’un C*-algèbre séparable est isomorphe aux fonctions semi-continue inférieurement de une space topoligique à valeurs dans les entiers naturels augmentée, alors la C*-algébre est commutative à stabilisation près, et son spectrum satisfait aux conditions dimensionnelles et cohomologique mentionné ci-dessus.
