Mathematical Reports - Comptes rendus mathématiques
of the Academy of Science | de l'Académie des sciences
Let \(C_b^{k,\omega}({\mathbb R}^n)\) be the Banach space of \(C^k\) functions on \({\mathbb R}^n\) bounded together with all derivatives of order \(\le k\) and with derivatives of order \(k\) having moduli of continuity majorated by \(c\cdot\omega\), \(c\in{\mathbb R}_+\), for some \(\omega\in C({\mathbb R}_+)\). Let \(C_b^{k,\omega}(S):=C_b^{k,\omega}({\mathbb R}^n)|_S\) be the trace space to a closed subset \(S\subset{\mathbb R}^n\). The geometric predual \(G_b^{k,\omega}(S)\) of \(C_b^{k,\omega}(S)\) is the minimal closed subspace of the dual \(\bigl(C_b^{k,\omega}({\mathbb R}^n)\bigr)^*\) containing evaluation functionals of points in \(S\). We study geometric properties of spaces \(G_b^{k,\omega}(S)\) and their relations to the classical Whitney problems on the characterization of trace spaces of \(C^k\) functions on \({\mathbb R}^n\).
Soit \(C_b^{k, \omega} ({\mathbb R}^n)\) l’espace de Banach des fonctions \(C^k\) sur \({\mathbb R}^n\) bornées avec toutes leurs dérivées d’ordre jusqu’à \(k\) et avec les dérivées d’ordre \(k\) ayant des modules de continuité majorés par \(c \cdot \omega\), \(c \in {\mathbb R}_+\), pour quelque \(\omega \in C ({\mathbb R}_+)\). Soit \(C_b ^ {k, \omega} (S): = C_b^{k, \omega} ({\mathbb R}^n) |_S\) l’espace de trace à un fermé \(S\subset{\mathbb R} ^ n\). Le predual géométrique \(G_b^{k, \omega}(S)\) de \(C_b^{k, \omega} (S)\) est le sous-espace minimal fermé du dual \(\bigl (C_b^ {k, \omega} ({\mathbb R}^n) \bigr)^*\) contenant les fonctionnelles d’évaluation aux points de \(S\). Nous étudions les propriétés géométriques des espaces \(G_b^{k, \omega} (S)\) et leur relation avec les problèmes classiques de Whitney sur la caractérisation des espaces de trace des fonctions \(C^k\) sur \({\mathbb R}^n\).
The concept of a weak Markov set takes its origin from Whitney problems for differentiable functions on \(\mathbb R^n\). These are the only sets for which differential calculus similar to that for open subsets of \(\mathbb R^n\) can be developed to some extent. This paper surveys some recent results in this direction obtained by the author. In particular, we show that some classical results for smooth functions and differential forms (such as the Poincaré Lemma, the de Rham and Hartogs theorems, the Künneth formulas, etc.) are valid also on certain weak Markov sets and more generally on certain topological spaces with weak Markov structures. The class of such spaces includes \(C^\infty\) manifolds with boundaries and some Lipschitz and fractal topological manifolds.
Le concept d’un ensemble faible de Markov provient des problèmes de Whitney pour des fonctions différentiables sur \(\mathbb R^n\). Ce sont les seuls ensembles pour lesquels le calcul différentiel semblable à celui pour les sous-ensembles ouverts de \(\mathbb R^n\) peut être développé dans une certaine mesure. Cet article examine quelques résultats récents dans cette direction obtenus par l’auteur. En particulier, on prouve que quelques résultats classiques pour les fonctions lisses et les formes différentielles (comme le lemme de Poincaré, les théorèmes de de Rham et de Hartogs, les formules de Künneth, etc.) sont également valides sur quelques ensembles faibles de Markov et plus généralement sur quelques espaces topologiques munis de structures faibles de Markov. La classe de tels espaces inclut les variétés lisses à bord et quelques variétés topologiques lipschitziennes et fractales.
