Mathematical Reports - Comptes rendus mathématiques

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Vol.29 (2007) — 15 results found.

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The Range of the Orbit Operator and Invariant Subspaces
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 29 (4) 2007, pp. 123–127
Robin J. Deeley (Received: 2008/03/12)

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To a bounded linear operator and a vector in the Hilbert space on which it acts we associate a linear map which we call the orbit operator. We prove a number of results linking properties of the range of the orbit operator to the existence of invariant subspaces of the original operator.

On associe à un opérateur \(T\) et un vecteur \(x\) dans un espace de Hilbert, un opérateur “d’orbite” \(\mathcal{O}_T^{e_i}(x)\), et on démontre des résultats reliant les propriétés de l’image de \(O^{e_i}_T(x)\) et des sous-espaces invariants de \(T\).

Cauchy Type Integrals and a $D$-Moment Problem
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 29 (4) 2007, pp. 115–122
V.A. Kisunko (Received: 2007/03/10, Revised: 2008/04/17)

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We consider a Cauchy-type integral \(F(z)= \int_{\Gamma} \frac {g(\xi)\,\d \xi}{\xi-z}\), where \(g\) is a piecewise analytic function satisfying an \(n\)-th order linear homogeneous differential equation \(Ly=\frac{\d^n y}{\d z^n} + c_{n-1}\frac{\d^{n-1}}{\d z^{n-1}} +\dots+ c_0y=0\) with coefficients \(c_k \in \C(z)\) rational functions. Our main theorem asserts that the function \(F\) satisfies a linear non-homogeneous equation \(Ly=R\) with \(R\) a rational function. The precise description of \(R\) leads to the solution of a vanishing problem and to the solution of a moment-type problem, which we call D-moment problem.

On considère une integrale du type Cauchy \(F(z)= \int_{\Gamma} \frac {g(\xi)\d \xi}{\xi-z}\), où \(g\) est une fonction analytique par morceaux satisfaisant une équation différentielle linéaire homogène d’ordre \(n\), \(Ly=\frac{\d^n y}{\d z^n} + c_{n-1}\frac{\d^{n-1}}{\d z^{n-1}} +\dots+ c_0y=0\), aux coefficients \(c_k\in \C(z)\) rationnels. Notre théorème principal affirme que la fonction \(F\) satisfait une équation linéaire non-homogène \(Ly=R\) avec \(R\) rationnelle. La description précise de \(R\) mène à la solution du problème d’évanescence et à la solution d’un problème du type moment que nous appelons problème de D-moment.

Signal Acquisition from Measurements via Non-Linear Models
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 29 (4) 2007, pp. 97–114
N. Sarig; Y. Yomdin (Received: 2008/02/23)

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We consider the problem of reconstruction of a non-linear finite-parametric model \(M=M_p(x)\) with \(p=(p_1,\dots,p_r)\) a set of parameters, from a set of measurements \(m_j(M)\). In this paper \(m_j(M)\) are always the moments \(m_j(M)=\int x^jM_p(x)\,dx\). This problem is a central one in signal processing, statistics, and in many other applications.

We concentrate on a direct (and somewhat “naive“) approach to the above problem: we simply substitute the model function \(M_p(x)\) into the measurements \(m_j\) and compute explicitly the resulting “symbolic” expressions of \(m_j(M_p)\) in terms of the parameters \(p\). Equating these “symbolic" expressions to the actual measurement results, we produce a system of nonlinear equations in the parameters \(p\), which we then try to solve.

The aim of this paper is to review some recent results in this direction, stressing the algebraic structure of the arising systems and mathematical tools required for their solution.

In particular, we discuss the relation of the reconstruction problem above with recent results on the vanishing problem for generalized polynomial moments and on the Cauchy-type integrals of algebraic functions.

Nous étudions le problème de reconstruction d’un modèle non-linéaire parametrisé \(M=M_p(x)\), aux paramètres \(p=(p_1,\dots,p_r)\), à partir d’un ensemble de mesures \(m_j(M)\). Dans cet article les \(m_j(M)\) sont des moments \(m_j(M)=\int x^j M_p(x) \,dx\). Ce problème est central dans le traitement du signal, dans les statistiques et dans bien d’autres domaines.

Nous nous concentrons sur une approche directe (et un peu “naîve“) du problème décrit ci-dessus: nous substituons simplement la fonction modèle \(M_p(x)\) dans les mesures \(m_j\) et calculons explicitement l’expression symbolique résultant de \(m_j(M_p)\) en fonction des paramètres \(p\). En comparant ces expressions “symboliques” aux vraix valeurs des mesures, nous produisons un système d’équations non-linéaires en \(p\), que nous essayons de résoudre.

Le but de cet article est d’examiner des résultats récents qui vont dans cette direction, tout en insistant sur la structure algébrique des systèmes qui interviennent et des outils mathématiques nécessaires pour leur solution.

En particulier nous discuterons la relation du problème de reconstruction décrit ci-dessus aux résultats récents sur le problème des zéros des moments polynomiaux généralisés et sur les intégrales du type Cauchy des fonctions algébriques.

Isometric Composition Operators On The Bloch-Type Spaces
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 29 (3) 2007, pp. 91–96
Nina Zorboska (Received: 2007/09/14)

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Une Obstruction Topologique aux Fibrés Tangents Unités
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 29 (3) 2007, pp. 87–90
Abdol-Reza Mansouri (Received: 2007/11/14)

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In this note, we present necessary conditions for a given odd-dimensional smooth manifold to be the unit tangent bundle of another smooth manifold for an arbitrary Riemannian metric. These conditions manifest themselves in the vanishing of certain Stiefel–Whitney classes of the manifold.

Dans cette note, nous présentons des conditions nécessaires à ce qu’une variété lisse de dimension impaire soit le fibré tangent unité d’une autre variété lisse pour une métrique riemannienne quelconque. Ces conditions se traduisent par l’annulation de certaines classes de Stiefel–Whitney de la variété.

On the Property SP of Certain AH Algebras
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 29 (3) 2007, pp. 81–86
Toan M. Ho (Received: 2007/08/02)

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A certain non-zero projection in a simple AH algebra with diagonal morphisms between the building blocks in its inductive limit decomposition is constructed and used to prove that this algebra has the property SP.

On construit une projection convenable dans une certaine algèbre AH simple, et on l’utilise pour montrer que cette algèbre a la propriété SP.

The scaling limit of Fomin’s identity for two paths in the plane
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 29 (3) 2007, pp. 65–80
Michael J. Kozdron (Received: 2007/08/11)

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We review some recently completed research that establishes the scaling limit of Fomin’s identity for loop-erased random walk on \(\mathbb{Z}^2\) in terms of the chordal Schramm–Loewner evolution (SLE) with parameter \(2\). In the case of two paths, we provide a simplified proof of the identity for loop-erased random walk and simple random walk, and prove directly that the corresponding identity holds for chordal \(\operatorname{SLE}_2\) and Brownian motion. We also include a brief introduction to SLE and discussion of the relationship between \(\operatorname{SLE}_2\) and loop-erased random walk.

Nous passons en revue de la recherche récemment réalisée qui établit la limite de l’identité de Fomin pour la marche aléatoire à boucles effacées sur \(\mathbb{Z}^2\) en termes du processus Schramm–Loewner (où SLE pour Schramm–Loewner evolution) avec paramètre 2. Dans le cas de deux chemins, nous fournissons une preuve simplifiée de l’identité pour la marche aléatoire à boucles effacées et la marche aléatoire simple, et prouvons ordonner que l’identité correspondante se tient pour \(\operatorname{SLE}_2\) et le mouvement brownien. Nous incluons également une brève introduction au processus Schramm–Loewner et une discussion du rapport entre \(\operatorname{SLE}_2\) et la marche aléatoire à boucles effacées.

Hypercentral unit groups and the hyperbolicity of a modular group algebra
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 29 (2) 2007, pp. 61–64
E. Iwaki; S.O. Juriaans (Received: 2006/11/06)

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We classify groups \(G\) such that the unit group \(\mathcal{U}_1 (\Z G)\) is hypercentral. In the second part, we classify groups \({G}\) whose modular group algebras \(KG\) have hyperbolic unit group \(\mathcal{U}_1 (KG)\).

Nous classifions les groupes \(G\) tels que le groupe unité \(\mathcal{U}_1 (\Z G)\) est hypercentral. Dans la deuxième partie, nous classifions les groupes \(G\) dont l’algèbre du groupe modulaire \(KG\) a un groupe unité \(\mathcal{U}_1 (KG)\) hyperbolique.

The dyadic distribution and its orthogonal polynomials
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 29 (2) 2007, pp. 52–60
Peter C. Gibson (Received: 2007/03/13)

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An open inverse problem that generalizes the classical moment problem is to construct all probability distributions on the real line whose sequence of orthogonal polynomials includes a prescribed subsequence. We have recently solved this problem for a class of subsequences that arise naturally in the context of iterative quadrature schemes, thereby making it possible to construct previously unknown distributions whose orthogonal polynomials have exotic properties. The results are illustrated here by an example: we explicitly construct a distribution on the interval \([-1,1]\), such that for every \(k\geq 1\), its degree \(2^k-1\) orthogonal polynomial divides that of degree \(2^{k+1}-1\), and the zeros of these are equally spaced. Equal spacing of the zeros contrasts starkly with the generic asymptotic behaviour predicted by Szegö’s classical theorem.

Un problème inverse qui reste ouvert et qui généralise le problème classique des moments est de construire toutes les lois de probabilité sur la droite réelle dont la suite des polynômes orthogonaux associée comprend une sous-suite prescrite. On a récemment résolu le problème pour une classe de sous-suites qui provient naturellement des schémas de quadrature iteratifs, ce qui rend possible la construction de lois de probabilités nouvelles dont les polynômes orthogonaux ont des propriétes exotiques. Les résultats sont illustrés ici par un exemple: on construit explicitement une loi sur l’intervalle \([-1,1]\), tel que pour tout \(k\geq 1\), son polynôme orthogonal de degré \(2^k-1\) divise celui de degré \(2^{k+1}-1\), et les zéros de ceux-ci sont également distribués. La distribution égale des zéros se differencie de la distribution asymptotique générique prédite par le théorème classique de Szegö.

Hilbert modules over a $C^*$-algebra of stable rank one
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 29 (2) 2007, pp. 48–51
George A. Elliott (Received: 2007/06/29)

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It is shown that for countably generated Hilbert C\(^*\)-modules over a C\(^*\)-algebra of stable rank one (i.e., a C\(^*\)-algebra in which the invertible elements are dense) the relation of compact inclusion up to isomorphism is cancellative, in a certain weak but natural sense. This generalizes the well-known fact that cancellation is valid in the abelian semigroup of isomorphism classes of finitely generated projective modules over such a C\(^*\)-algebra.

Il est démontré que la relation d’inclusion compacte entre modules de Hilbert dénombrablement engendrés sur une C\(^*\)-algèbre de rang stable égal à un est cancellative, dans un sens faible mais naturel. Ceci généralise un résultat bien connu pour le cas des modules projectifs finiment engendrés.

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