Mathematical Reports - Comptes rendus mathématiques

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Vol.29 (2007) — 15 results found.

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Williams Numbers
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 29 (2) 2007, pp. 41–47
Othman Echi (Received: 2007/04/18)

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Let \(N\) be a composite squarefree number; \(N\) is said to be a Carmichael number if \(p-1\) divides \(N-1\) for each prime divisor \(p\) of \(N\). H. C. Williams has stated an interesting problem of whether there exists a Carmichael number \(N\) such that \(p+1\) divides \(N+1\) for each prime divisor \(p\) of \(N\). This is a long standing open question, and it is possible that there is no such number.

For a given nonzero integer \(a\), we call \(N\) an \(a\)-Korselt number if \(N\) is composite, squarefree and \(p-a\) divides \(N-a\) for all primes \(p\) dividing \(N\). We will say that \(N\) is an \(a\)-Williams number if \(N\) is both an \(a\)-Korselt number and a \((-a)\)-Korselt number.

Extending the problem of Willams, one may ask more generally if for a given nonzero integer \(a\), there is an \(a\)-Williams number. We give an affirmative answer to the question for \(a =3p\), where \(p\) is a prime number such that \(3p-2\) and \(3p+2\) are primes. We also prove that each \(a\)-Williams number has at least three prime factors.

Soit \(N\) un nombre composé et sans facteur carré; \(N\) est dit un nombre de Carmichael si \(p-1\) divise \(N-1\) pour tout diviseur premier \(p\) de \(N\). H. C. Williams a posé un problème concernant l’existence d’un nombre de Carmichael \(N\) tel que \(p+1\) divise \(N+1\) pour tout diviseur premier \(p\) de \(N\). C’est donc un ancient problème, et il se peut qu’il n’existe pas de tel nombre.

Pour un entier naturel non nul \(a\), on dit que \(N\) est un nombre \(a\)-Korselt si \(N\) est composé, sans facteur carré et \(p-a\) divise \(N-a\) pour tout diviseur premier \(p\) de \(N\). On dira que \(N\) est un nombre \(a\)-Williams si \(N\) est à la fois \(a\)-Korselt et \((-a)\)-Korselt.

On a, alors, le problème suivant: pour un entier naturel non nul \(a\), existe-t-il un nombre \(a\)-Williams? On donne une réponse affirmative à cette question, dans le cas où \(a =3p\), où \(p\) est un nombre premier tel que \(3p-2\) et \(3p+2\) sont premiers. On montre aussi que tout nombre \(a\)-Williams possède au moins \(3\) facteurs premiers.

Complex Quotients by Nonclosed Groups and Their Stratifications
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 29 (2) 2007, pp. 33–40
Fiammetta Battaglia (Received: 2007/06/13)

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We define the notion of complex stratification by quasifolds and show that such stratified spaces occur as complex quotients by certain nonclosed subgroups of tori associated to convex polytopes. The spaces thus obtained provide a natural generalization to the nonrational case of the notion of toric variety associated with a rational convex polytope.

On définit la notion de stratification complexe de quasifolds et on montre que ces espaces stratifiés se réalizent comme quotients complexes par des sousgroupes non fermés de tores, associés aux polytopes convexes. Les espaces ainsi obtenus donnent une généralization naturelle, au cas non rationnel, de la notion de variété torique associée à un polytope convexe rationnel.

Stable rank of depth two inclusions of $C^*$-algebras
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 29 (1) 2007, pp. 28–32
Hiroyuki Osaka; Tamotsu Teruya (Received: 2006/07/11)

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Let \(1 \in A \subset B\) be an inclusion of unital \(C^*\)-algebras of index-finite type and depth \(2\). Suppose that \(A\) is infinite dimensional, simple, with the property \(\operatorname{SP}\). We prove that if \(\operatorname{tsr}(A) = 1\), then \(\operatorname{tsr}(B) \leq 2\). An interesting special case is \(B = A \rtimes_\alpha G\), where \(\alpha\) is an action of a finite group \(G\) on \(\operatorname{Aut}(A)\).

Soit \(1 \in A \subset B\) une inclusion de \(C^*\)-algèbres unitals du type indice-fini et de profondeur \(2\). On suppose que \(A\) est de dimension infinie, simple, et que \(A\) a la propriété \(\operatorname{SP}\). On démontre que, si \(\operatorname{tsr}(A) = 1\), donc \(\operatorname{tsr}(B) \leq 2\). Un cas intéressant est \(B = A \rtimes_\alpha G\), oú \(\alpha\) est une action d’un groupe fini \(G\) sur \(\operatorname{Aut}(A)\).

A relative double commutant theorem for hereditary sub-C*-algebras
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 29 (1) 2007, pp. 22–27
George A. Elliott; Dan Kučerovský (Received: 2007/03/12)

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We prove a double commutant theorem for hereditary subalgebras of a large class of C*-algebras, partially resolving a problem posed by Pedersen. Double commutant theorems originated with von Neumann, whose seminal result evolved into an entire field now called von Neumann algebra theory. Voiculescu proved a C*-algebraic double commutant theorem for separable subalgebras of the Calkin algebra. We prove a similar result for hereditary subalgebras which holds for more general corona C*-algebras. (It is not clear how generally Voiculescu’s double commutant theorem holds.)

Nous démontrons un théorème de commutant double (d’après Voiculescu et von Neumann) pour les sous-C*-algèbres héréditaires d’une C*-algèbre corona, c’est-à-dire de l’algèbre \(M(A)/A\) pour une C*-algèbre \(A\). Les théorèmes de type commutant double ont commencé avec von Neumann, et son résultat séminal est maintenant la fondation de la théorie des algèbres de Neumann. Voiculescu a démontré un théorème de commutant double pour les sous-C*-algèbres séparables de l’algèbre \(B(H)/K(H)\). Nous démontrons un résultat semblable pour les sous-C*-algèbres héréditaires des algèbres \(M(A)/A\). Il n’est pas clair dans quel cadre le théorème de commutant double de Voiculescu est valable en général.

Jet schemes, arc spaces and the Nash problem
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 29 (1) 2007, pp. 1–21
Shihoko Ishii (Received: 2007/03/26)

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This paper is an introduction to the jet schemes and the arc space of an algebraic variety. We also introduce the Nash problem on arc families.

Ce papier constitue une introduction aux espaces de jets et à l’espace d’arcs d’une variété algébrique. Nous introduisons également le problème de Nash pour les familles d’arcs.

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