Mathematical Reports - Comptes rendus mathématiques

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Vol.32 (2010) — 12 results found.

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Morse equi-singular deformation in $\mathbb{C}^2$
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 32 (4) 2010, pp. 120–126
Tzee-Char Kuo; Laurentiu Paunescu (Received: 2010/05/28, Revised: 2010/07/16)

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The enriched complex line \(\mathbb{C}_*\) is \(\mathbb{C}\) plus a set of infinitesimals. The Morse stability notion is used for an equi-singular deformation theorem in \(\mathbb{C}\{x,y\}\) (\(=\mathcal{O}_2\)).

On appelle la droite complexe enrichie \(C_*\), la réunion de la droite complexe \(\mathbb{C}_*\) avec un ensemble des infinitésimaux. La notion de stabilité de Morse est appliquée au théorème de déformation equisingulière dans \(\mathbb{C}\{x,y\}\) (\(=\mathcal{O}_2\)).

Nuclearity through absorbing extensions
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 32 (4) 2010, pp. 106–119
Dan Kučerovský; P.W. Ng (Received: 2009/09/11, Revised: 2010/04/15)

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Let \(\mathcal{A}\) be a unital, separable, simple \(C^*\)-algebra. Denote by \(G := U \bigl( \mathcal{M}(\mathcal{A} \otimes \mathcal{K}) \bigr)\) the unitary group of the multiplier algebra of \(\mathcal{A} \otimes \mathcal{K}\), given the strict topology. Then the following conditions are equivalent:

(1) \(\mathcal{A}\) is a nuclear \(C^*\)-algebra.
(2) \(G\) is an amenable topological group.
(3) \(G\) is an extremely amenable topological group.
(4) The Kasparov extension of \(\mathcal{A} \otimes \mathcal{K}\) is absorbing.
(5) The Lin and Kasparov extensions of \(\mathcal{A} \otimes \mathcal{K}\) are approximately unitarily equivalent (with unitaries coming from \(\mathcal{M}( \mathcal{A} \otimes \mathcal{K})\)).
(6) The Kasparov extension of \(S \mathcal{A} \otimes \mathcal{K}\) is absorbing.
(7) The suspended Lin extension and the Kasparov extension, of \(S \mathcal{A} \otimes \mathcal{K}\), are approximately unitarily equivalent (with unitaries coming from \(\mathcal{M}(S \mathcal{A} \otimes \mathcal{K})\)).
(8) Every purely large extension of \(\mathcal{A} \otimes \mathcal{K}\) is absorbing.
(9) Every properly purely large extension of \(\mathcal{A} \otimes \mathcal{K}\) is absorbing.

Soit \(\mathcal{A}\) une \(C^*\)-algèbre unifère, séparable et simple et soit \(\mathcal{M}(\mathcal{A} \otimes \mathcal{K})\) l’algèbre des multiplicateurs de \(\mathcal{A} \otimes \mathcal{K}\). Dénotons par \(G\) le groupe unitaire de \(\mathcal{M}(\mathcal{A} \otimes \mathcal{K})\) muni de la topologie stricte. Nous démontrons plusieurs caractérisations équivalentes de la nucléarité de \(\mathcal{A}\). En particulier, nous prouvons l’équivalence des conditions suivantes:

(1) \(\mathcal{A}\) est une \(C^*\)-algèbre nucléaire.
(2) \(G\) est un groupe topologique moyennable.
(3) L’extension de Kasparov de \(\mathcal{A} \otimes \mathcal{K}\) est absorbante.

Convexity of the Krein Space Tracial Numerical Range and Morse Theory
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 32 (4) 2010, pp. 97–105
Natalia Bebiano; Hiroshi Nakazato; Joao da Providencia (Received: 2009/08/26)

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In this paper we present a Krein space convexity theorem on the tracial-numerical range of a matrix. This theorem is the analogue of Westwick’s theorem. The proof is an application of Morse theory.

Nous présentons un théorème de convexité pour une gamme numérique généralisée des opérateurs sur un espace de Krein. Ce théorème est un analogue du théorème de Westwick. La preuve est une application de la théorie de Morse.

Geometric Theory of Parshin Residues
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 32 (3) 2010, pp. 81–96
Mikhail Mazin (Received: 2009/10/09)

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This is a brief summary of results. More detailed papers are in preparation. Preliminary versions of the detailed papers are available on the arxiv.org. We study the theory of Parshin residues from the geometric point of view. In particular, the residue is expressed in terms of an integral over a smooth cycle. The Parshin–Lomadze Reciprocity Law for residues in complex case is proved via a homological relation on these cycles.

The paper consist of two parts. In the first part the theory of Leray coboundary operators for stratified spaces is developed. These operators are used to construct the cycle and prove the homological relation. In the second part resolution of singularities techniques are applied to study local geometry near a complete flag of subvarieties. We give a short introduction to the theory of Parshin residues in the Introduction.

All the constructions are valid both in complex algebraic and complex analytic cases. However, for simplicity of presentation we restrict ourselves to the algebraic case.

Ceci est un bref résumé de résultats. Des articles plus détaillés sont en préparation. Des versions préliminaires de ces articles sont disponibles sur arxiv.org. Nous étudions la théorie des résidus de Parshin d’un point de vue géométrique. En particulier, le résidu est exprimé sous la forme d’une intégrale sur un cycle lisse, et la Loi de Réciprocité de Parshin–Lomadze pour les résidus dans le cas complexe est démontrée par l’intermédiaire d’une relation homologique sur ces cycles. Cet article comporte deux parties. Dans la première la théorie des opérateurs de cobords pour espaces stratifiés est développée et est utilisée pour construire le cycle et démontrer la relation d’homologie. Dans la seconde partie, les techniques de résolution de singularités sont utilisées pour étudier la géométrie locale près d’un drapeau complet de sous-variétés. Nous donnons une courte introduction à la théorie des résidus de Parshin dans l’introduction. Toutes les constructions sont valables dans le cas algébrique complexe et dans le cas analytique complexe. Cependant pour la simplicité de l’exposé on s’est restreint au cas algébrique.

Holomorphic Almost Periodic Functions on Coverings of Stein Manifolds
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 32 (3) 2010, pp. 65–80
Alexander Brudnyi; Damir Kinzebulatov (Received: 2010/03/04, Revised: 2010/04/13)

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In this paper we introduce and study algebras of holomorphic almost periodic functions on regular coverings of Stein manifolds. These functions embrace two famous theories: Bohr’s holomorphic almost periodic functions on tube domains and von~Neumann’s almost periodic functions on groups. For such algebras we obtain results on approximation by analogs of exponential polynomials, on holomorphic extension from almost periodic complex submanifolds and describe the structure of their maximal ideal spaces.

Dans cet article on introduit et étudie des algèbres de fonctions holomorphes presque périodiques sur des revêtements reguliers des variétés de Stein. Ces fonctions unifient deux célèbres théories: les fonctions holomorphes presque périodiques sur des domaines tubulaires (d’après Bohr) et des fonctions presque périodiques sur des groupes (d’après von Neumann). Pour ces algèbres on obtient des résultats sur l’approxima\-tion par des analogues des polynômes exponentiels et sur le prolongement holomorphe des sous-variétés presque périodiques complexes. On décrit aussi la structure de leurs espaces des idéaux maximaux.

On Cycles and Products of Ideals and Corresponding Indefinite Quadratic Forms
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 32 (2) 2010, pp. 40–51
Ahmet Tekcan; Arzu Ozkoc; Hatice Alkan (Received: 2009/11/11, Revised: 2010/02/02)

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Let \(k\geq 2\) be an integer and let \(D = k^2+k+1\) be a positive non-square integer. In this work, we derive some properties (including cycles) of ideals \(I_1 = [k,k-1+\sqrt{D}]\), \(I_2 = [k+1,k+\sqrt{D}]\) and their product \(I\). In the last section, we consider the indefinite binary quadratic forms \(F_{I_1}\), \(F_{I_2}\) and \(F_I\) of discriminant \(\Delta=4D\) which correspond to \(I_1\), \(I_2\) and \(I\), respectively and we formulate the cycle of \(F_{I_1}\) and \(F_{I_2}\).

Soit \(k\ge 2\) un entier tel que \(D = k^2+k+1\) ne soit pas le carré d’un entier. Dans ce travail, on obtient quelques propriétés (incluant des cycles) des idéaux \(I_1 = [k,k-1+\sqrt{D}]\), \(I_2 = [k+1,k+\sqrt{D}]\) et de leur produit \(I\). Dans le dernier paragraphe, on considère les formes quadratiques binaires indéfinies \(F_{I_1}\), \(F_{I_2}\) et \(F_I\) de discriminant \(\Delta=4D\) qui correspondent respectivement aux idéaux \(I_1\), \(I_2\) et \(I\) à fin de formuler le cycle de \(F_{I_1}\) et \(F_{I_2}\).

Elliptic Curves and Families of Congruent and $\theta$-congruent Numbers
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 32 (2) 2010, pp. 33–39
Scott Sitar (Received: 2009/06/22)

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We show that for any integer \(M > 1\), any integer \(k\), and any admissible angle \(\theta\), there are infinitely many \(\theta\)-congruent numbers which are congruent to \(k\) modulo \(M\). Our method is inspired by an argument used by Chahal for an analogous result on congruent numbers modulo \(8\). Since congruent numbers are \(\pi/2\)-congruent numbers, this also includes as a special case the parallel statement for congruent numbers, originally due to Bennett.

Soit \(M\) un entier tel que \(M > 1\), soit \(k\) un entier, et soit \(\theta\) un angle admissible, nous montrons qu’il y a une infinité de nombres \(\theta\)-congruents dans la classe de \(k\) modulo \(M\). Notre méthode est inspirée par cela de Chahal, où il a montré le résultat analogue pour les nombres congruents modulo \(8\). Car les nombres congruents sont aussi des nombres \(\pi/2\)-congruents, notre travail contient aussi le résultat analogue pour les nombres congruents, démontré initialement par Bennett.

A Geometrization of the Happel Functor
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 32 (2) 2010, pp. 52–63
Fan Xu; Xueqing Chen (Received: 2009/09/27)

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The Happel functor is a full and faithful exact functor from the derived category \(\mathcal{D}^b (A)\) of bounded complexes over module category of a finite-dimensional algebra \(A\) to the stable category \(\underline{\operatorname{mod}\,} \hat{A}\) of the repetitive algebra \(\hat{A}\) of \(A\). If \(A\) has finite global dimension, this functor is even an equivalence of triangulated categories. Xiao, Xu, and Zhang defined topological spaces associated with \(\mathcal{D}^b (A)\). In this paper, we attach some topological spaces for \(\underline{\operatorname{mod}\,} \hat{A}\) and construct maps between two kinds of topological spaces as a geometric characterization of the Happel functor.

Le foncteur Happel est un foncteur plein, fidèle, et exact de la categorie derivée \(\mathcal{D}^b (A)\) des complexes bornés sur la categorie des modules d’une algèbre \(A\) de dimension finie dans la categorie stable \(\underline{\operatorname{mod}\,} \hat{A}\) de l’algèbre répétitive \(\hat{A}\) de \(A\). Si \(A\) est de dimension finie (en dimension globale), ce foncteur sera même une équivalence des categories triangulées. Les espaces topologiques associés à \(\mathcal{D}^b (A)\) étaient définés par Xiao, Xu et Zhang. Dans cette article, nous associons quelques espaces topologiques à la categorie \(\underline{\operatorname{mod}\,} \hat{A}\), et nous construisons des applications entre deux sortes des espaces topologiques comme une caractérisation géometrique du foncteur Happel.

A De Rham Theorem for $L^\infty$ Forms and Homology on Singular Spaces
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 32 (1) 2010, pp. 24–32
Leonid Shartser; Guillaume Valette (Received: 2008/09/26, Revised: 2009/10/29)

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We introduce a notion of a smooth \(L^{\infty}\) form on singular (semialgebraic) spaces \(X\) in \(\mathbb{R}^n\). An \(L^\infty\) form is the data of a stratification \(\Sigma\) of \(X\) and a collection of smooth forms \(\omega\) on the nonsingular strata with matching tangential components on the adjacent strata and bounded size (in the metric induced from \(\mathbb{R}^n\)). We prove Stokes’ Theorem and Poincaré’s Lemma for \(L^\infty\) forms. As a result we obtain a De Rham type theorem establishing a natural isomorphism between the singular cohomology and the cohomology of smooth \(L^{\infty}\) forms.

On introduit la notion d’une forme \(L^\infty\) pour des espaces singuliers semialgébriques. Une forme lisse \(L^\infty\) est la donnée d’une stratification et d’une famille de forme lisses sur les strates coincidant le long des strates adjacentes. On prouve la formule de Stokes et le lemme de Poincaré pour les formes \(L^\infty\). On en déduit un théorème de type De Rham établissant un isomorphisme naturel entre la cohomologie des formes \(L^\infty\) et la cohomologie singulière.

Isomorphisms of Jet Schemes
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 32 (1) 2010, pp. 19–23
Shihoko Ishii; Jorg Winkelmann (Received: 2009/07/30)

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If two schemes are isomorphic, then their \(m\)-jet schemes are isomorphic for all \(m\). In this paper we consider the converse problem. We prove that if an isomorphism of the \(m\)-jet schemes is induced from a morphism of the base schemes, then the morphism of the base schemes is an isomorphism. But we also prove that just the existence of isomorphisms between \(m\)-jet schemes does not yield the existence of an isomorphism between the base schemes.

Si deux schémas sont isomorphes, alors pour tout \(m\) les schémas de leurs \(m\)-jets sont isomorphes. Dans cet article nous considérons la question inverse. Nous démontrons que si un isomorphisme des schémas de \(m\)-jets est induit par un morphisme des schémas de base, alors ce morphisme des schémas de base est un isomorphisme. Mais nous démontrons aussi que l’existence d’un isomorphisme entre schémas des \(m\)-jets n’implique pas l’existence d’un isomorphisme entre les schémas de base.

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