Vol.32 (1) 2010 — 4 results found.

A De Rham Theorem for $L^\infty$ Forms and Homology on Singular Spaces

C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 32 (1) 2010, pp. 24–32
Leonid Shartser; Guillaume Valette (Received: 2008/09/26, Revised: 2009/10/29)

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We introduce a notion of a smooth $L^{\infty}$ form on singular (semialgebraic) spaces $X$ in $\mathbb{R}^n$. An $L^\infty$ form is the data of a stratification $\Sigma$ of $X$ and a collection of smooth forms $\omega$ on the nonsingular strata with matching tangential components on the adjacent strata and bounded size (in the metric induced from $\mathbb{R}^n$). We prove Stokes’ Theorem and Poincaré’s Lemma for $L^\infty$ forms. As a result we obtain a De Rham type theorem establishing a natural isomorphism between the singular cohomology and the cohomology of smooth $L^{\infty}$ forms.

On introduit la notion d’une forme $L^\infty$ pour des espaces singuliers semialgébriques. Une forme lisse $L^\infty$ est la donnée d’une stratification et d’une famille de forme lisses sur les strates coincidant le long des strates adjacentes. On prouve la formule de Stokes et le lemme de Poincaré pour les formes $L^\infty$. On en déduit un théorème de type De Rham établissant un isomorphisme naturel entre la cohomologie des formes $L^\infty$ et la cohomologie singulière.

Isomorphisms of Jet Schemes

C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 32 (1) 2010, pp. 19–23
Shihoko Ishii; Jorg Winkelmann (Received: 2009/07/30)

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If two schemes are isomorphic, then their $m$-jet schemes are isomorphic for all $m$. In this paper we consider the converse problem. We prove that if an isomorphism of the $m$-jet schemes is induced from a morphism of the base schemes, then the morphism of the base schemes is an isomorphism. But we also prove that just the existence of isomorphisms between $m$-jet schemes does not yield the existence of an isomorphism between the base schemes.

Si deux schémas sont isomorphes, alors pour tout $m$ les schémas de leurs $m$-jets sont isomorphes. Dans cet article nous considérons la question inverse. Nous démontrons que si un isomorphisme des schémas de $m$-jets est induit par un morphisme des schémas de base, alors ce morphisme des schémas de base est un isomorphisme. Mais nous démontrons aussi que l’existence d’un isomorphisme entre schémas des $m$-jets n’implique pas l’existence d’un isomorphisme entre les schémas de base.

The Avalanche Principle and Some Deviation Probabilities

C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 32 (1) 2010, pp. 13–18
D. Goldstein; I. Goldstein (Received: 2009/09/09)

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We prove certain probabilistic inequalities for long matrix products generated by a pair of $2\times 2$ matrices. Our main tool is the so-called Goldstein-Schlag avalanche principle.

Nous prouvons certaines inégalités probabilistes concernant les longs produits de matrices générés par une paire de matrices $2\times 2$. Notre objectif principal concerne le principe d’avalanche, énoncé par Goldstein et Schlag.

On Algebras of Holomorphic Functions with Semi-Almost Periodic Boundary values

C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 32 (1) 2010, pp. 1–12
Alexander Brudnyi; Damir Kinzebulatov (Received: 2009/08/17)

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We study the algebras of bounded holomorphic functions on the unit disk whose boundary values, having, in a sense, the weakest possible discontinuities, belong to the algebra of semi-almost periodic functions on the unit circle. The latter algebra contains as a special case an algebra introduced by Sarason in connection with some problems in the theory of Toeplitz operators. We show that such algebras have the Grothendieck approximation property, prove the corona theorem for them and formulate some results on the structure of their maximal ideal spaces. Also, we extend the notion of the Bohr–Fourier spectrum to holomorphic semi-almost periodic functions and prove that under certain assumptions on their spectra the corresponding algebras are projective free and their maximal ideal spaces have trivial Čech cohomology groups.

On étudie les algèbres des fonctions holomorphes bornées sur le disque unité dont les valeurs au bord ayant, dans us certain sens, des discontinuités les plus faibles possible, appartiennent á l’algèbre de fonctions semi-presque périodique sur le circle unité. Cette dernière contient, en particulier, une algèbre introduite par Sarason en relation avec certains problèmes de la théorie des opérateurs de Toeplitz. On montre que ces algèbres ont la propriéte d’approximation de Grothendieck; on prouve le theorème corona pour celles-ci et on formule quelques résultats sur la structure de leurs espaces idéaux maximaux. On étend aussi la notion du spectre de Bohr-Fourier à des fonctions holomorphiques semi-presques périodiques et on prouve que sous certaines hypothèses sur leur spectres, tout module projectif des algèbres correspondants est libre et leurs espaces idéaux maximaux ont des cohomologies triviales de Čech.