Mathematical Reports - Comptes rendus mathématiques

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Vol.33 (2011) — 14 results found.

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Characterizing classifiable AH algebras
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 33 (4) 2011, pp. 123–126
Andrew S. Toms (Received: 2011/02/04)

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We observe almost divisibility for the original Cuntz semigroup of a simple AH algebra with strict comparison. As a consequence, the properties of strict comparison, finite nuclear dimension, and \(\mathcal{Z}\)-stability are equivalent for such algebras, confirming partially a conjecture of Winter and the author.

\(\mathcal{Z}\)-stabilité sont équivalentes pour une telle algèbre, ce qui confirme partiellement une conjecture de Winter et de l’auteur.

Free Probability and Complex Cobordism
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 33 (4) 2011, pp. 116–122
Roland Friedrich; John McKay (Received: 2011/08/13)

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We show how Voiculescu’s \(S\)-transform in free probability relates to the space of complex genera in complex cobordism, and endows it with the structure of an infinite Lie group, with the underlying manifold being isomorphic to the group of automorphisms of the formal disc. In addition, this connection gives a link with \(C^*\)-algebras. The group operation introduced can be understood in terms of non-crossing partitions. We then connect both via the Landweber–Novikov algebra with the Faà di Bruno Hopf algebra and the combinatorial structure of rooted trees. Finally, we provide a bridge between free probability, conformal field theory and the KP-hierarchy.

Nous montrons comment la transformée \(S\) de Voiculescu de la théorie des probabilités libres rapporte à l’espace de genres complexes dans la théorie de cobordisme complexe, et lui confère une structure de groupe de Lie infini, avec la variété sous-jacente isomorphe au groupe des automorphismes du disque formel; plus loin, cette connexion permet une liaison avec les \(C^*\)-algèbres. L’opération de groupe introduite est comprise en termes de partitions non-franchissant. L’algèbre de Landweber–Novikov relie ces deux choses à l’algèbre de Hopf de Faà di Bruno et la combinatoire des arbres enracinés. Enfin, nous fournissons une passerelle entre la théorie des probabilités libres, la théorie conforme des champs et l’hiérarchie KP.

Invariant Operators with Complex Potentials
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 33 (4) 2011, pp. 107–115
H.D. Fegan; B. Steer (Received: 2011/02/16)

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For an operator \(D\) a potential \(Q\) is null isospectral if \(\operatorname{Spec}(D+Q) = \operatorname{Spec}(D)\). In this paper we study bundle maps \(Q\) on a homogeneous vector bundle over a homogeneous space that are null isospectral potentials for a large class of invariant operators \(D\), including elliptic self-adjoint differential operators. This result includes and generalizes previous results where \(D\) is the Laplace operator and \(Q\) is a complex valued function rather than a bundle map. To illustrate these results we give the examples of the Laplace and Dirac operators on \(S^1\).

Soit \(\Delta\) l’opérateur de Laplace sur une variété différentiable homogène compacte. On sait qu’il existe des fonctions \(Q\) non-nulles à valeurs complexes telles que \(\Delta\) et \(\Delta+Q\) ont le même spectre. Nous montrons ici que ce résultat s’étend largement. Si \(D\) désigne un opérateur elliptique invariant et auto-adjoint opérant sur les fonctions à valeurs dans un fibré vectoriel complexe homogène \(\mathbf{E}\) il exist des fonctions \(Q\) non-nulles à valeurs dans le fibré \(\operatorname{End}(\mathbf{E})\) telles que \(D\) et \(D+Q\) ont le même spectre. Les fonctions \(Q\) possibles se laissent calculer facilement dans le cas de \(S^1\) et l’opérateur de Dirac.

Banach-valued holomorphic functions on the maximal ideal space of $H^\infty$
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 33 (4) 2011, pp. 97–106
Alexander Brudnyi (Received: 2011/03/17)

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We study Banach-valued holomorphic functions defined on open subsets of the maximal ideal space of the Banach algebra \(H^\infty\) of bounded holomorphic functions on the unit disk \(\mathbf{D}\subset\mathbf{C}\) with pointwise multiplication and supremum norm. In particular, we establish the vanishing of the cohomology of sheaves of germs of such functions and, solving a Banach-valued corona problem for \(H^\infty\), prove that the maximal ideal space of the algebra \(H_{\operatorname{comp}}^\infty (A)\) of holomorphic functions on \(\mathbf{D}\) with relatively compact images in a commutative unital complex Banach algebra \(A\) is homeomorphic to the direct product of maximal ideal spaces of \(H^\infty\) and \(A\). All proofs are presented in arXiv:1103.2347v1.

Nous étudions des fonctions holomorphes à valeurs dans un espace de Banach et définies sur des sous ensembles ouverts de l’espace idéal maximal de l’algèbre de Banach \(H^\infty\) des fonctions holomorphes bornées sur le disque unité \(\mathbf{D}\subset\mathbf{C}\) munies de la multiplication ponctuelle et de la norme du supremum. En particulier, nous établissons que la cohomologie des faisceaux des germes de ces fonctions est nulle et, par le biais de la résolution d’un problème de type corona pour \(H^\infty\) à valeurs dans un espace de Banach, montrons que l’espace idéal maximal de l’algèbre \(H_{\operatorname{comp}}^\infty (A)\) des fonctions holomorphes sur \(\mathbf{D}\) et à image relativement compacte dans une algèbre complexe commutative unitale de Banach \(A\) est homéomorphe au produit direct des espaces idéaux maximaux de \(H^\infty\) et \(A\). Toutes les preuves sont présentées dans arXiv:1103.2347v1.

On the structure of the set of integral points inside a ball
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 33 (3) 2011, pp. 93–96
Konstantin Matveev (Received: 2010/12/01)

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On the structure of the set of integral points inside a ball Resume/Abstract: We prove that for each open ball in \(\mathbb{R}^n\) of radius \(r \geq \frac{\sqrt{n+3}}{2}\), its center is contained in the convex hull of all integral points inside it. We also show that this estimate is sharp, i.e., for balls of radius \(r < \frac{\sqrt{n+3}}{2}\), the property does not hold.

Nous prouvons que, pour chaque balle ouverte dans \(\mathbb{R}^n\) de radius \(r \geq \frac{\sqrt{n+3}}{2}\), le centre se tient dans une enveloppe convexe de points à l’intérieur avec des coordonnées entières. Nous allons également montrer que cette estimation est forte, c’est-à-dire que la propriété ne tient pas pour les balles de radius \(r < \frac{\sqrt{n+3}}{2}\).

Disconjugacy of a second order linear differential equation and periodic solutions
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 33 (3) 2011, pp. 78–92
V. Ya. Derr (Received: 2010/06/08, Revised: 2010/07/13)

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We obtain a new geometric criterion for disconjugacy of a second order linear differential equation which, unlike the existing criteria, does not require the smallness of the coefficients of the equation. We then apply the new criterion to periodic boundary value problems.

Nous obtenons un nouveau critère géométrique pour que les opérateurs différentiels linéaires du second ordre soient disconjugué. A la différence des critères existants, le nôtre ne nécessite pas la ‘petitesse’ des coefficients. Nous discutons ensuite des applications de notre critère au cas des problèmes où les conditions au bord sont périodiques.

Sur les espaces test pour la moyennabilité
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 33 (3) 2011, pp. 65–77
Yousef Al-Gadid; Brice R. Mbombo; Vladimir G. Pestov (Received: 2010/06/25)

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We observe that a Polish group \(G\) is amenable if and only if every continuous action of \(G\) on the Hilbert cube admits an invariant probability measure. This generalizes a result of Bogatyi and Fedorchuk. We also show that actions on the Cantor space can be used to detect amenability and extreme amenability of Polish nonarchimedean groups as well as amenability at infinity of discrete countable groups. As corollary, the latter property can also be tested by actions on the Hilbert cube. These results generalize a criterion due to Giordano and de la Harpe.

Nous observons qu’un groupe polonais \(G\) est moyennable si et seulement si toute action continue de \(G\) sur le cube de Hilbert possède une mesure de probabilité invariante. Cela généralise un résultat de Bogatyi et Fedorchuk. Nous démontrons également que les actions continues sur l’espace de Cantor permettent de tester la moyennabilité, la moyennabilité extrême des groupes polonais non archimédiens, et la moyennabilité à l’infini des groupes discrets dénombrables. Il en résulte que cette dernière propriété peut également être testée par les actions sur le cube de Hilbert. Ces résultats généralisent un critère de Giordano et de la Harpe.

On coarse spectral geometry in even dimension
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 33 (2) 2011, pp. 57–64
Robert Yuncken (Received: 2010/10/25)

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Let \(\sigma\) be the involution of the Roe algebra \(C^*|\mathbf{R}|\) which is induced from the reflection \(\mathbf{R}\colon \mathbf{R}\); \(x\mapsto -x\). A graded Fredholm module over a separable \(C^*\)-algebra \(A\) gives rise to a homomorphism \(\tilde{\rho} \colon A\colon C^*|\mathbf{R}|^\sigma\) to the fixed-point subalgebra. We use this observation to give an even-dimensional analogue of a result of Roe. Namely, we show that the \(K\)-theory of this symmetric Roe algebra is \(K_0 (C^*|\mathbf{R}|^\sigma) \cong \mathbf{Z}\), \(K_1(C^*|\mathbf{R}|^\sigma) = 0\), and that the induced map \(\tilde{\rho}_* \colon K_0(A) \colon \mathbf{Z}\) on \(K\)-theory gives the index pairing of \(K\)-homology with \(K\)-theory.

Soit \(\sigma\) l’involution de l’algèbre de Roe \(C^*|\mathbf{R}|\) induite par la réflexion \(\mathbf{R}\colon \mathbf{R}\); \(x\mapsto -x\). Un module de Fredholm gradué sur une \(C^*\)-algèbre séparable \(A\) donne lieu à un homomorphisme \(\tilde{\rho} \colon A\colon C^*|\mathbf{R}|^\sigma\) à valeurs dans la sous-algèbre des éléments invariants. En utilisant cette observation, nous montrons un analogue en dimension paire d’un résultat de Roe. Plus précisément, nous montrons que la \(K\)-théorie de cette algèbre de Roe symétrique est \(K_0 (C^*|\mathbf{R}|^\sigma) \cong \mathbf{Z}\), \(K_1(C^*|\mathbf{R}|^\sigma) = 0\) et que l’application induite \(\tilde{\rho}_* \colon K_0(A) \to \mathbf{Z}\) coïncide avec l’accouplement entre \(K\)-homologie et \(K\)-théorie.

Unimodal sequences show that Lambert $W$ is Bernstein
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 33 (2) 2011, pp. 50–56
G.A. Kalugin; D.J. Jeffrey (Received: 2010/11/28)

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We consider a sequence of polynomials appearing in expressions for the derivatives of the Lambert \(W\) function. The coefficients of each polynomial are shown to form a positive sequence that is log-concave and unimodal. This property implies that the positive real branch of the Lambert \(W\) function is a Bernstein function.

Nous considérons une séquence de polynômes que l’on retrouve dans l’expression des dérivées de la fonction Lambert \(W\). Nous montrons que les coefficients de chaque polynôme forment une séquence positive qui est log-concave et unimodale. Cette propriété implique que la branche réelle positive de la fonction Lambert \(W\) est une fonction de Bernstein.

Quasitraces are traces: A short proof of the finite-nuclear-dimension case
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 33 (2) 2011, pp. 44–49
Nathanial P. Brown; Wilhelm Winter (Received: 2010/05/12, Revised: 2010/10/21)

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Uffe Haagerup proved that quasitraces on unital exact \(C^*\)-algebras are traces. We give a short proof under the stronger hypothesis of locally finite nuclear dimension; our result generalizes to the case of lower semicontinuous extended quasitraces on nonunital \(C^*\)-algebras.

Uffe Haagerup a démontré qu’une quasi-trace sur une \(C^*\)-algèbre exacte à élément unité est une trace. Nous donnons une courte démonstration sous l’hypothèse plus forte de dimension nucléaire localement finie; ce résultat se généralise jusqu’au cas d’une quasi-trace étendue semicontinue inférieurement sur une \(C^*\)-algèbre sans élément unité.

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