Vol.33 (2) 2011 — 4 results found.

On coarse spectral geometry in even dimension

C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 33 (2) 2011, pp. 57–64
Robert Yuncken (Received: 2010/10/25)

Let $\sigma$ be the involution of the Roe algebra $C^*|\mathbf{R}|$ which is induced from the reflection $\mathbf{R}\colon \mathbf{R}$; $x\mapsto -x$. A graded Fredholm module over a separable $C^*$-algebra $A$ gives rise to a homomorphism $\tilde{\rho} \colon A\colon C^*|\mathbf{R}|^\sigma$ to the fixed-point subalgebra. We use this observation to give an even-dimensional analogue of a result of Roe. Namely, we show that the $K$-theory of this symmetric Roe algebra is $K_0 (C^*|\mathbf{R}|^\sigma) \cong \mathbf{Z}$, $K_1(C^*|\mathbf{R}|^\sigma) = 0$, and that the induced map $\tilde{\rho}_* \colon K_0(A) \colon \mathbf{Z}$ on $K$-theory gives the index pairing of $K$-homology with $K$-theory.

Soit $\sigma$ l’involution de l’algèbre de Roe $C^*|\mathbf{R}|$ induite par la réflexion $\mathbf{R}\colon \mathbf{R}$; $x\mapsto -x$. Un module de Fredholm gradué sur une $C^*$-algèbre séparable $A$ donne lieu à un homomorphisme $\tilde{\rho} \colon A\colon C^*|\mathbf{R}|^\sigma$ à valeurs dans la sous-algèbre des éléments invariants. En utilisant cette observation, nous montrons un analogue en dimension paire d’un résultat de Roe. Plus précisément, nous montrons que la $K$-théorie de cette algèbre de Roe symétrique est $K_0 (C^*|\mathbf{R}|^\sigma) \cong \mathbf{Z}$, $K_1(C^*|\mathbf{R}|^\sigma) = 0$ et que l’application induite $\tilde{\rho}_* \colon K_0(A) \to \mathbf{Z}$ coïncide avec l’accouplement entre $K$-homologie et $K$-théorie.

Unimodal sequences show that Lambert $W$ is Bernstein

C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 33 (2) 2011, pp. 50–56
G.A. Kalugin; D.J. Jeffrey (Received: 2010/11/28)

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We consider a sequence of polynomials appearing in expressions for the derivatives of the Lambert $W$ function. The coefficients of each polynomial are shown to form a positive sequence that is log-concave and unimodal. This property implies that the positive real branch of the Lambert $W$ function is a Bernstein function.

Nous considérons une séquence de polynômes que l’on retrouve dans l’expression des dérivées de la fonction Lambert $W$. Nous montrons que les coefficients de chaque polynôme forment une séquence positive qui est log-concave et unimodale. Cette propriété implique que la branche réelle positive de la fonction Lambert $W$ est une fonction de Bernstein.

Quasitraces are traces: A short proof of the finite-nuclear-dimension case

C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 33 (2) 2011, pp. 44–49
Nathanial P. Brown; Wilhelm Winter (Received: 2010/05/12, Revised: 2010/10/21)

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Uffe Haagerup proved that quasitraces on unital exact $C^*$-algebras are traces. We give a short proof under the stronger hypothesis of locally finite nuclear dimension; our result generalizes to the case of lower semicontinuous extended quasitraces on nonunital $C^*$-algebras.

Uffe Haagerup a démontré qu’une quasi-trace sur une $C^*$-algèbre exacte à élément unité est une trace. Nous donnons une courte démonstration sous l’hypothèse plus forte de dimension nucléaire localement finie; ce résultat se généralise jusqu’au cas d’une quasi-trace étendue semicontinue inférieurement sur une $C^*$-algèbre sans élément unité.

Higher derivations and Hochschild homology

C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 33 (2) 2011, pp. 33–43
A. Banerjee (Received: 2010/10/25, Revised: 2010/11/29)

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Let $K$ be a commutative ring and let $A$ be a $K$-algebra. A $K$-linear derivation $D$ on $A$ induces a morphism $L_D$ on the Hochschild and cyclic homologies of $A$, which is the analogue of the Lie derivative in noncommutative geometry. In this paper, we extend this to higher (or Hasse–Schmidt) derivations on $A$.

Soit $K$ un anneau commutatif et soit $A$ une $K$-algèbre. Une dérivation $K$-linéaire $D$ de $A$ induit un endomorphisme $L_D$ de l’homologie de Hochschild et de l’homologie cyclique de $A$, qui est l’analogue en géométrie non-commutative de la dérivée de Lie. Dans cet article, nous généralisons cette construction aux dérivations d’ordre supérieur (ou dérivations de Hasse–Schmidt) de $A$.