Mathematical Reports - Comptes rendus mathématiques

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Vol.34 (2012) — 12 results found.

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Bezout-type Theorems for the Affine Plane
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 34 (4) 2012, pp. 112–126
Pinaki Mondal (Received: 2011/12/19)

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This article is mainly an announcement of some of the results from the article General Bezout-type theorems. We set up a framework for Bezout-type theorems for general affine varieties and apply it to study the “Bezout problem” on the affine plane. In particular, for a class of compactifications of the affine plane we compute the intersection numbers of the curves at infinity in terms of valuations at infinity, and generalize the Bernstein–Kushnirenko non-degeneracy criterion to the case of weighted degrees in possibly different systems of coordinates.

Cet article est principalement une annonce de quelques-uns des résultats de l’article General Bezout-type theorems. Nous construisons un système pour les théorèmes de type Bezout pour les variétés affines générales, et nous l’appliquons pour étudier le “Bezout problème” sur le plan affine. En particulier, pour une classe de compactifications du plan affine, nous calculons le nombre d’intersections des, courbes à l’infini en termes de valorisations à l’infini, et nous généralisons le critère de non-dégénérescence de Bernstein–Kushnirenko au cas de degrés pondérés dans les systèmes peut-être différents de coordonnées.

Rationality of Dedekind Sums in Finite Fields
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 34 (4) 2012, pp. 105–111
Yoshinori Hamahata (Received: 2012/04/09)

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In Higher dimensional Dedekind sums in finite fields. Finite Fields Appl. 18 (2012), 19–25, we introduced the Dedekind–Zagier sum in finite fields. It is defined by a lattice $\Lambda$. The objective of this paper is to present a criterion for the rationality of our Dedekind–Zagier sum. For this purpose, we establish a connection between the field of definition of the exponential function for $\Lambda$ and the field of definition of the Dedekind–Zagier sum for $\Lambda$.

Dans Higher dimensional Dedekind sums in finite fields. Finite Fields Appl. 18 (2012), 19–25, nous avons introduit la somme de Dedekind–Zagier dans des corps finis. La somme est définie à partir d’un réseau $\Lambda$. L’objectif de ce travail est de présenter un critère de la rationalité de notre somme de Dedekind–Zagier. Pour le but, nous éstablissons la connexion entre le corps de définition de la fonction exponentielle pour $\Lambda$ et le corps de définition de notre somme de Dedekind–Zagier pour $\Lambda$.

On a Problem of Gromov about Generalizing the Alexandrov–Fenchel Inequality
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 34 (4) 2012, pp. 101–104
Yuri Burda (Received: 2011/10/03)

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In this note we give an answer to a question about mixed volumes asked by Gromov in “Convex Sets and Kahler Manifolds”. For the reader’s convenience we recall the definitions and some of the properties of mixed volumes and mixed discriminants.

Dans cette note, nous donnions une réponse à une question sur les volumes mixtes posées par M. Gromov dans “Convex Sets and Kahler Manifolds”. Pour la commodité du lecteur, nous rappelons les définitions et certaines des propriétés de volumes mixtes et discriminants mixte.

New Solutions for Non-smooth Value Functions
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 34 (4) 2012, pp. 97–100
Moawia Alghalith (Received: 2011/06/28, Revised: 2011/10/18)

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In this paper, we provide strong solutions to the stochastic optimization problem when the value function is not necessarily smooth.

Des solutions fortes du problème d’optimisation stochastique sont fournies dans des cas où la fonction d’utilité indirecte n’est pas forcément dérivable.

Compactifications of $\mathbb{C}^2$ via pencils of jets of curves
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 34 (3) 2012, pp. 79–96
Pinaki Mondal (Received: 2011/11/21)

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This article is mainly an announcement of some of the results in the articles Primitive normal compactifications of the affine plane I and II where we study normal compactifications of the affine plane from the point of view of associated pencils of jets of curves and corresponding valuations on the field of rational functions. We find an explicit criterion to determine if a discrete valuation corresponds to a normal compactification of \(\mathbb{C}^2\) which is primitive (i.e., the curve at infinity is irreducible). We show that a primitive normal compactification of \(\mathbb{C}^2\) is projective iff it is algebraic iff the associated pencil of jets of curves has a representative which has only one place at infinity. As an application we compute the moduli space of primitive projective compactifications of \(\mathbb{C}^2\). We also characterize primitive normal compactifications of \(\mathbb{C}^2\) which are not algebraic.

Cet article est principalement une annonce de certains résultats dans les articles Primitive compactifications normales du plan affine I et II où l’on étudie les compactifications normales du plan affine du point de vue des pinceaux associés avec les jets de courbes et des valuations correspondant sur le corps des fonctions rationnelles. Nous trouvons un critère explicite pour déterminer si une valuation discrète corresponde à une compactification normale de \(\mathbb{C}^2\) qui est primitifs (i.e., la courbe à l’infini est irréductible). Nous montrons qu’une compactification normale primitive de \(\mathbb{C}^2\) est projectif si et seulement si elle est algébrique si et seulement si le pinceau associé de jets de courbes a un représentant qui n’a qu’un seul endroit à l’infini. Comme application nous calculons l’espace des modules des compactifications primitive projectif de \(\mathbb{C}^2\). Nous avons également caractérisé les primitives compactifications normal de \(\mathbb{C}^2\) qui ne sont pas algébriques.

Geometrization of Postcritically-Finite Branched Coverings
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 34 (3) 2012, pp. 65–78
Sylvain Bonnot; Michael Yampolsky (Received: 2012/04/20)

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We study canonical decompositions of postcritically-finite branched coverings of the 2-sphere, as defined by K. Pilgrim. We show that every hyperbolic cycle in the decomposition does not have a Thurston obstruction. It is thus Thurston equivalent to a rational map.

Nous étudions les décompositions canoniques de revêtements ramifiés de la sphère, avec ensembles post-critiques finis, ainsi que K. Pilgrim les a définies. Nous montrons qu’aucun cycle hyperbolique dans la décomposition n’a d’obstruction de Thurston. Par conséquent, un tel cycle est équivalent au sens de Thurston à une application rationnelle.

A Counterexample to Durfee’s Conjecture
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 34 (2) 2012, pp. 50–64
Dmitry Kerner; Andras Nemethi (Received: 2011/09/30)

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An old conjecture of Durfee bounds the ratio of two basic invariants of complex isolated complete intersection surface singularities: the Milnor number and the singularity (or geometric) genus. We give a counterexample for the case of non-hypersurface complete intersections, and we formulate a weaker conjecture valid in arbitrary dimension and codimension. This weaker bound is asymptotically sharp. In this note we support the validity of the new proposed inequality by its verification in certain (homogeneous) cases. In a subsequent paper we will prove it for several other cases and we will provide a more comprehensive discussion.

Une conjecture vieux de Durfee limite le ratio de deux invariants fondamentales des singularités des surfaces complexes qui sont intersections complètes: le nombre de Milnor et la genre (géométrique) de la singularité. Nous presentons un contre-exemple pour le cas des intersections complètes (non-hypersurface), et nous formulons une conjecture plus faible en dimensions et codimensions arbitraires. Cette bond est forte asymptotiquement. Dans cette note nous appuyons la validité de l’inégalité nouvelle par sa vérification dans certains cases homogènes. Dans le papier prochaine nous allons le prouver pour plusieurs cases et nous fournirons une analyse plus complète.

On the Pickands Stochastic Process
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 34 (2) 2012, pp. 39–49
Adja Mbarka Fall; Gane Samb Lo (Received: 2011/11/16)

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We consider the Pickands process \(P_{n}(s)
= \log (1/s)^{-1} \log \frac{X_{n-k+1,n}-X_{n-[k/s]+1,n}}{X_{n-[k/s]+1,n}-X_{n-[k/s^{2}]+1,n}},
\tag{1}
\qquad
\Bigl( \frac{k}{n} \leq s^2 \leq 1 \Bigr)\)
which is a generalization of the classical Pickands estimate \(P_{n}(1/2)\) of the extremal index. We undertake here a purely stochastic process view for the asymptotic theory of that process by using the Csörg–Csörg–Horvàth–Mason (1986). weighted approximation of the empirical and quantile processes to suitable Brownian bridges. This leads to the uniform convergence of the margins of this process to the extremal index and a complete theory of weak convergence of \(P_n\) in \(\ell^{\infty}([a,b])\) to some Gaussian process \[\left\{\mathbb{G},a\leq s \leq b\right\} \tag{2}\] for all \([a,b] \subset \left] 0,1 \right[\). This frame greatly simplifies the former results and enable applications based on stochastic processes methods.

Nous considérons le processus de Pickands défini en (1) qui est une généralisation de l’estimateur classique de Pickands \(P_{n}(1/2)\) de l’indice extremal. Nous abordons l’étude de ce processus du point de vue des processus stochastiques en établissant son comportement asymptotique. Nous utilisons comme outil principal l’approximation simultanée du processus empirique et du processus des quantiles uniformes dûe à Csörg–Csörg–Horvàth–Mason (1986). Nous établissons la convergence vague et uniforme du processus (1) vers un processus gaussien (2) entièrement décrit. Cette approche simplifie les résultats antérieurs et permet des applications basées sur des méthodes de processus stochastiques.

Lê Cycles and Milnor Classes of Compact Hypersurfaces
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 34 (2) 2012, pp. 33–38
Roberto Callejas-Bedregal; Michelle F.Z. Morgado; Jose Seade (Received: 2010/11/18, Revised: 2011/02/07)

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We determine the relation amongst the global Lê cycles and the Milnor classes of analytic hypersurfaces defined by a section of a very ample line bundle over a compact complex manifold. The key point is finding appropriate expressions for the global Lê cycles and for the Milnor classes in terms of polar varieties. Our starting points are an interpretation of the Lê cycles given by T. Gaffney and R. Gassler, a formula by A. Parusinski and P. Pragacz for the Milnor classes via McPherson’s functor, and a conjecture of J.-P. Brasselet, that we prove, stating that Milnor classes can be expressed in terms of polar varieties. We then use the work by R. Piegne for Mather classes, by J. Schürmann and M. Tibăr for MacPherson’s classes for constructible functions, and by D. Massey for an extension of the local Lê cycles for constructible sheaves.

Nous déterminons la relation entre les cycles de Lê globaux et les classes de Milnor des hypersurfaces analytiques définies par une section d’un fibré en droites très ample sur des variétés non-singulières complexes compactes. Le point clé consiste à trouver des expressions appropriées des cycles de Lê globaux et des classes de Milnor en termes de variétés polaires. Nos points de départ sont une interprétation des cycles de Lê donnée par T. Gaffney et R. Gassler, une formule de A. Parusinski et P. Pragacz pour les classes de Milnor via le foncteur de McPherson, et une conjecture de J.-P. Brasselet pour les classes de Milnor, que nous démontrons, qui affirme que l’on peut exprimer les classes de Milnor en fonction des classes polaires. Nous utilisons alors des travaux de R. Piene sur les classes de Mather, de J. Schürmann et M. Tibăr sur les classes de MacPherson des fonctions constructibles, et de D. Massey qui généralise les cycles de Lê locaux aux faisceaux constructibles.

Note on Poincaré $L^p$ Type Inequality for Differential Forms on Semialgebraic Sets
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 34 (1) 2012, pp. 23–32
Leonid Shartser (Received: 2011/06/02)

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We study local and global Poincaré type \(L^p\) inequalities on a compact semialgebraic subset of \(\mathbb{R}^n\) for \(p\gg 1\). As a consequence, we obtain an isomorphism between \(L^p\) cohomology and singular cohomology of a normal compact semialgebraic set. The global inequality is derived from the local one, while the local inequality is proved by means of a semialgebraic Lipschitz deformation retraction with estimates on its derivatives.

On étudie les inégalités locales et globales de type \(L^p\) de Poincaré sur un sous-ensemble compact semialgébrique de \(\mathbb{R}^n\) pour \(p\gg 1\). Par conséquent, nous obtenons un isomorphisme entre la cohomologie \(L^p\) et la cohomologie singulière d’un ensemble normal compact semialgébrique. L’inégalité globale est dérivée de la locale, tandis que l’inégalité locale est prouvée au moyen d’une rétraction de déformation semialgébrique Lipschitz avec des estimations sur ses dérivés.

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