Vol.34 (2012) — 12 results found.

This article is mainly an announcement of some of the results from the article General Bezout-type theorems. We set up a framework for Bezout-type theorems for general affine varieties and apply it to study the “Bezout problem” on the affine plane. In particular, for a class of compactifications of the affine plane we compute the intersection numbers of the curves at infinity in terms of valuations at infinity, and generalize the Bernstein–Kushnirenko non-degeneracy criterion to the case of weighted degrees in possibly different systems of coordinates.

Cet article est principalement une annonce de quelques-uns des résultats de l’article General Bezout-type theorems. Nous construisons un système pour les théorèmes de type Bezout pour les variétés affines générales, et nous l’appliquons pour étudier le “Bezout problème” sur le plan affine. En particulier, pour une classe de compactifications du plan affine, nous calculons le nombre d’intersections des, courbes à l’infini en termes de valorisations à l’infini, et nous généralisons le critère de non-dégénérescence de Bernstein–Kushnirenko au cas de degrés pondérés dans les systèmes peut-être différents de coordonnées.

This article is mainly an announcement of some of the results in the articles Primitive normal compactifications of the affine plane I and II where we study normal compactifications of the affine plane from the point of view of associated pencils of jets of curves and corresponding valuations on the field of rational functions. We find an explicit criterion to determine if a discrete valuation corresponds to a normal compactification of \(\mathbb{C}^2\) which is primitive (i.e., the curve at infinity is irreducible). We show that a primitive normal compactification of \(\mathbb{C}^2\) is projective iff it is algebraic iff the associated pencil of jets of curves has a representative which has only one place at infinity. As an application we compute the moduli space of primitive projective compactifications of \(\mathbb{C}^2\). We also characterize primitive normal compactifications of \(\mathbb{C}^2\) which are not algebraic.

Cet article est principalement une annonce de certains résultats dans les articles Primitive compactifications normales du plan affine I et II où l’on étudie les compactifications normales du plan affine du point de vue des pinceaux associés avec les jets de courbes et des valuations correspondant sur le corps des fonctions rationnelles. Nous trouvons un critère explicite pour déterminer si une valuation discrète corresponde à une compactification normale de \(\mathbb{C}^2\) qui est primitifs (i.e., la courbe à l’infini est irréductible). Nous montrons qu’une compactification normale primitive de \(\mathbb{C}^2\) est projectif si et seulement si elle est algébrique si et seulement si le pinceau associé de jets de courbes a un représentant qui n’a qu’un seul endroit à l’infini. Comme application nous calculons l’espace des modules des compactifications primitive projectif de \(\mathbb{C}^2\). Nous avons également caractérisé les primitives compactifications normal de \(\mathbb{C}^2\) qui ne sont pas algébriques.