Mathematical Reports - Comptes rendus mathématiques

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Vol.35 (2013) — 11 results found.

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Parameterizing Degree $n$ Polynomials by Multipliers of Periodic Orbits
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 35 (4) 2013, pp. 148–154
Igors Gorbovickis (Received: 2013/08/15, Revised: 2013/10/19)

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We present the following result: consider the space of complex polynomials of degree $n\ge 3$ with $n-1$ distinct marked periodic orbits of given periods. Then this space is irreducible and the multipliers of the marked periodic orbits, considered as algebraic functions on the above mentioned space, are algebraically independent over $\mathbb{C}$. Equivalently, this means that at its generic point, the moduli space of degree $n$ polynomial maps can be locally parameterized by the multipliers of $n-1$ arbitrary distinct periodic orbits. A detailed proof of this result (together with a proof of a more general statement) is given in [2]. In this exposition we substitute some of the technical lemmas from [2] with more geometric arguments.

On démontre le résultat suivant: considérons l’espace des polynômes complexes de degré $n\ge 3$ avec $n-1$ orbites périodiques distinctes marquées des périodes données. Alors cet espace est irréductible et considéré comme fonctions algébriques sur l’espace mentionné, les multiplicateurs des orbites périodiques marquées sont algébriquement indépendant sur $\mathbb{C}$. Ceci est équivalent á dire que á son point générique, l’espace module des applications polynomiales de degré $n$ peut être localement paramétrer par les multiplicateurs de $n-1$ orbites périodiques distinctes quelconques. Une démonstration de ce résultat (avec une preuve d’un énoncé plus général) est donnée en [2]. Dans cette exposition on remplace quelques lemmes techniques avec des arguments plus géométriques.

On Characterization of Universal Centers of ODEs with Analytic Coefficients
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 35 (4) 2013, pp. 137–147
Alexander Brudnyi (Received: 2013/07/19, Revised: 2013/09/17)

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We present a solution of the problem of characterization of the universal centers of a differential equation $v’=\sum_{j=1}^n a_j v^{j+1}$ with all $a_j$ real analytic in a neighbourhood of $[a,b]\Subset\mathbb{R}$ in terms of the vanishing of finitely many moments determined by $a_1, \ldots, a_n$.

On présente la solution du problème de caractériser les centres universels d’une équation différentielle $v’=\sum_{j=1}^n a_j v^{j+1}$ dont tous les coefficients sont des fonctions analytiques réelles autour de $[a,b]\Subset\mathbb{R}$ en utilisant les ensembles des zéros d’un nombre fini des moments calculés en partant des fonctions $a_1, \ldots, a_n$

In Praise of Quaternions
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 35 (4) 2013, pp. 121–136
Joachim Lambek (Received: 2013/03/04, Revised: 2013/06/25)

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This is a survey of some of the applications of quaternions to physics in the 20th century. In the first half century, an elegant presentation of Maxwell’s equations and special relativity was achieved with the help of biquaternions, that is, quaternions with complex coefficients. However, a quaternionic derivation of Dirac’s celebrated equation of the electron depended on the observation that all $4\times 4$ real matrices can be generated by quaternions and their duals.

On examine quelques applications des quaternions à la physique du vingtième siècle. La première moitiè du siècle avait vu une présen-tation élégante des équations de Maxwell et de la relativité spéciale par les quaternions avec des coefficients complexes. Cependant, une dérivation de l’équation célèbre de Dirac dépendait sur l’observation que toutes les matrices $4\times 4$ réelles peuvent être generées par les représentations régulières des quaternions.

Nonnegatively Curved Geodesic Spheres in a Complex Hyperbolic Space
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 35 (3) 2013, pp. 114–120
Sadahiro Maeda (Received: 2013/05/01, Revised: 2013/09/15)

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We characterize geodesic spheres with sufficiently small radii in a complex hyperbolic space by using their geometric properties. These geodesic spheres are the only examples of hypersurfaces of type (A) having nonnegative sectional curvature in this ambient space.

Nous caractérisons les sphères géodésiques de rayon suffisamment petit dans un espace hyperbolique complexe en utilisant leurs propriétés géométriques. Ces sphères géodésiques sont les seuls exemples d’hypersurfaces de type (A) qui ont courbure non-negative dans cet espace ambiant.

Blends and Alloys
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 35 (3) 2013, pp. 77–113
R. Exel (Received: 2012/05/09, Revised: 2013/07/24)

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Given two algebras $A$ and $B$, sometimes assumed to be C\*-algebras, we consider the question of putting algebra or C\*-algebra structures on the tensor product $A\otimes B$. In the C\*-case, assuming $B$ to be two-dimensonal, we characterize all possible such C\*-algebra structures in terms of an action of the cyclic group ${\mathbb Z}_2$. An example related to commuting squares is also discussed.

Si $A$ et $B$ sont deux algèbres (resp. deux C\*-algèbres), nous étudions dans cette note les structures possibles d’algèbre (resp. de C\*-algèbre) qui peuvent être définies sur le produit tensoriel $A\otimes B$. Si $A$ est une C\*-algèbre, nous caractérisons toutes les structures de C\*-algèbre sur le produit tensoriel $A\otimes \mathbb{C}^2$ par une action du groupe cyclique $\mathbb{Z}_2$. Nous présentons aussi un exemple associé aux carrés commutatifs.

A Remark on the Similarity and Perturbation Problems
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 35 (2) 2013, pp. 70–76
Jan Cameron (Received: 2012/06/21)

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In this note we show that Kadison’s similarity problem for $C^*$-algebras is equivalent to a problem in perturbation theory: must close $C^*$-algebras have close commutants?

Dans cette note, nous montrons que le problème de similarité de Kadison est équivalent à la question suivante en théorie de la perturbation: les commutants de deux $C^*$-algèbres proches sont-ils nécessairement proches?

Systems of Linear Partial Differential Equations with Constant Coefficients: Bounds on Solutions
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 35 (2) 2013, pp. 57–69
Anamaria Savu (Received: 2012/09/11, Revised: 2013/04/26)

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We consider sequences of systems of first-order linear partial differential equation with constant coefficients. As the index $N$ of the sequence increases, the dimension of the integration space of the $N^{th}$ system increases to infinity. Even though the coefficient matrices of the systems have different dimensions, the matrices originate from a common generating process that is specified by a finite sequence of real numbers or a polynomial. We establish results on the limiting behaviour of the $L^2$ norms of solutions of the systems as $N$ grows to infinity, specifically we find asymptotic dominating powers of $N$ for the $L^2$ norms. We show that the exponents of $N$ depend on the maximal order of the complex unit roots of the generating polynomial. Our results are generalizations of some inequalities shown by Varadhan in his work on the hydrodynamic scaling limit of a non-gradient particle system with continuous spin and nearest-neighbour interaction. Our results could prove relevant for the derivation of hydrodynamic limits of other particle systems with complex interactions and non-Gaussian equilibrium measures.

Nous considérons des séquences de systèmes d’équations aux dérivées partielles linéaires du premier ordre à coefficients constants. Lorsque l’indice $N$ de la séquence s’accroît, la dimension de l’espace\breakd’intégration du $N$-ième système s’approche de l’infini. Même si les matrices de coefficients des systèmes ont des dimensions différentes, les matrices proviennent d’un processus de génération qui est spécifié par une séquence finie de nombres réels ou un polynôme. Nous montrons des résultats sur le comportement asymptotique pour les normes $L^2$ des solutions des systèmes quand $N$ s’approche de l’infini, spécifiquement nous trouvons des puissances de $N$ qui dominent asymptotiquement les normes $L^2$. Nous montrons que les exposants de $N$ dépendent de l’ordre maximal des racines complexes unités du polynôme génératrice. Nos résultats sont des généralisations des certaines inégalités montrées par Varadhan dans son travail sur la limite hydrodynamique d’une système de particules avec spin continu et évoluant selon une dynamique de Kawasaki non-gradient. Nos résultats pourraient se révéler pertinents pour le calcul des limites hydrodynamiques d’autres systèmes de particules avec des interactions complexes et des mesures d’équilibre non-gaussiennes.

Countable Saturation of Corona Algebras
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 35 (2) 2013, pp. 35–56
Ilijas Farah (Received: 2011/12/16, Revised: 2013/04/15)

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We present unified proofs of several properties of the corona of -unital C*-algebras such as AA-CRISP, SAW*, being sub--Stonean in the sense of Kirchberg, and the conclusion of Kasparov’s Technical Theorem. Although our results were obtained by considering C*-algebras as models of the logic for metric structures, the reader is not required to have any knowledge of model theory of metric structures (or model theory, or logic in general). The proofs involve analysis of the extent of model-theoretic saturation of corona algebras.

Nous présentons des démonstrations unifiées de plusieurs propriétés de la corona des C*-algèbres -unitales tel qu’AA-CRISP, SAW*, étant sous--Stonean au sens de Kirchberg, et la conclusion du théorème technique de Kasparov. Bien que nos résultats aient été obtenus en considérant les C*-algèbres comme modèles de la logique pour les structures métriques, le lecteur n’est pas requis d’avoir aucune connaissance de la théorie des modèles des structures métriques (ou la théorie des modèles, ou de la logique en général). Les démonstrations impliquent l’analyse de l’ampleur de la saturation modèle-théorétique des algèbres de corona.

The Cuntz Semigroup of Some Spaces of Dimension at Most Two
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 35 (1) 2013, pp. 22–32
Leonel Robert (Received: 2012/09/12, Revised: 2013/03/26)

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It is shown that the Cuntz semigroup of a space with dimension at most two, and with second cohomology of its compact subsets equal to zero, is isomorphic to the ordered semigroup of lower semicontinuous functions on the space with values in the natural numbers with the infinity adjoined. This computation is then used to obtain the Cuntz semigroup of all compact surfaces. A converse to the first computation is also proven: if the Cuntz semigroup of a separable C*-algebra is isomorphic

Il est montré que le semi-groupe de Cuntz d’un espace de dimension au plus deux, et avec cohomologie deuxième de ses sous-ensembles compacts égales à zéro, est isomorphe au semi-groupe ordonné de fonctions semi-continue inférieurement sur l’espace de baisse avec des valeurs au entiers naturels augmentée à l’infini. Ce calcul est ensuite utilisé pour obtenir le semi-groupe de Cuntz de toutes les surfaces compacts. Un inverse du premier calcul est également prouvé: si le semi-groupe de Cuntz d’un C*-algèbre séparable est isomorphe aux fonctions semi-continue inférieurement de une space topoligique à valeurs dans les entiers naturels augmentée, alors la C*-algébre est commutative à stabilisation près, et son spectrum satisfait aux conditions dimensionnelles et cohomologique mentionné ci-dessus.

Construction of the Heptadecagon and Quadratic Reciprocity
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 35 (1) 2013, pp. 16–21
Yuri Burda; Liudmyla Kadets (Received: 2012/03/26)

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In this note we present a construction of a regular 17-gon using ruler and compass. We relate steps in this construction to quadratic reciprocity and some trigonometric identities.

Dans cette note, nous présentons une construction à la règle et au compas de l’heptadécagone. Nous éstablisson des liens les étapes de cette construction de réciprocité quadratique et des identitiés trigono–métriques.

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algebraic number theory approximation property automorphisms Bessel functions Boson-fermion correspondence C*-algebra Carmichael number center problem Chebyshev transform classification Classification of simple C*-algebras composition operators continued fractions Cuntz Semigroup elliptic curves fixed point Fourier transform function fields. functoriality general relativity generic property ideals indefinite inner product inductive limits of sub-homogeneous C*- algebras Irrational rotation algebra J-Hermitian matrix K-theory Kahler manifolds L-functions maximal ideal space nonexpansive mapping noninterlacing numerical range orthogonal polynomials Predual space prime number property SP Renormalization rotation algebras Salem number semi-reciprocal polynomials tracially approximate splitting interval algebras unbounded traces Weak Markov set Whitney problems

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