Mathematical Reports - Comptes rendus mathématiques

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Vol.37 (2015) — 12 results found.

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Laplacians for Derived Graphs of Regular Kähler Graphs
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 37 (4) 2015, pp. 142-157
Yaermaimaiti Tuerxunmaimaiti; Toshiaki Adachi (Received: 2014/07/13, Revised: 2015/07/15)

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We consider \((p,q)\)-step adjacency on a Kähler graph which is compounded from a principal graph and an auxiliary graph. We attach probabilistic weights to \((p,q)\)-step paths so that these paths show trajectories under the influence of a magnetic field of strength \(q/p\) on this graph. We study eigenvalues of Laplacians corresponding to \((p,q)\)-step paths on some regular Kähler graphs and give examples of pairs of regular Kähler graphs whose Laplacians for arbitrary pairs \((p,q)\) of positive integers have the same eigenvalues.

On considère la relation de contiguité à un pas \((p,q)\) près sur un graphe kählerien qui se constitue d’un graphe principal et un graphe auxiliaire. On attache des poids probabilistiques aux sentiers dans un tel graphe composés de pas \((p,q)\) de sorte que ces sentiers montrent des trajectoires sous l’influence d’un champs magnétique de force \(q/p\) sur le graphe. On étudie le spectre de l’opérateur laplacien correspondant aux sentiers aux pas \((p,q)\) sur certains graphes kähleriens regulières. On donne un example de deux graphes différents dont les opérateurs laplaciens ont le même spectre pour toute paire \((p,q)\).

The Pólya-Schur Problem on the Unit Circle
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 37 (4) 2015, pp. 131-141
Peter C. Gibson (Received: 2014/10/06, Revised: 2014/10/24)

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The Pólya-Schur problem for a region \(Z\) in the complex plane is to characterize the semigroup of linear operators \(A:\mathbb{C}[z]\rightarrow \mathbb{C}[z]\) that map polynomials whose zeros are confined to \(Z\) to polynomials of the same type, or to 0. We give a constructive solution to the Pólya-Schur problem in the case where \(Z\) is the unit circle. This shows that the associated semigroup is qualitatively simpler than in the classical case where \(Z\) is the real line, whereas recent results have not clearly distinguished the two cases.

Le problème Pólya-Schur pour une région \(Z\) dans le plan complexe est de charactériser le semigroupe des opérateurs linéaires \(A:\mathbb{C}[z]\rightarrow \mathbb{C}[z]\) envoyant chaque polynôme dont les racines appartiennent à \(Z\) vers un polynôme du même type, ou vers 0. Nous présentons une solution constructive au problème Pólya-Schur dans le cas où \(Z\) est le cercle unité. Cela démontre que le semigroupe associé est qualitativement plus simple que dans le cas classique de la ligne réelle, tandis que les résultats récents n’ont pas distingué les deux cas.

Cubic and Hexic Integral Transforms for Locally Compact Abelian Groups
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 37 (4) 2015, pp. 121-130
Sam Walters (Received: 2014/10/10, Revised: 2014/10/10)

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We prove that for locally compact, compactly generated self-dual Abelian groups \(G\), there are canonical unitary integral operators on \(L^2(G)\) analogous to the Fourier transform but which have orders 3 and 6. To do this, we establish the existence of a certain projective character on \(G\) whose phase multiplication with the FT gives rise to the Cubic transform (of order 3). (Thus, although the Fourier transform has order 4, one can “make it” have order 3 (or 6) by means of a phase factor!)

Soit \(G\) un groupe localement compact, engendré par un sousensemble compact, et isomorphe à son groupe dual. On construit des operateurs intégrals unitaires canoniques qui sont analogues à la transformée de Fourier, mais qui sont d’ordres trois et six.

Periodic Integral Transforms and Associated Noncommutative Orbifold Projections
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 37 (3) 2015, pp. 114-120
Sam Walters (Received: 2014/11/02, Revised: 2015/02/04)

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We report on recent results on the existence of Cubic and Hexic integral transforms on self-dual locally compact groups (orders 3 and 6 analogues of the classical Fourier transform) and their application in constructing a canonical continuous section of smooth projections \(\mathcal E(t)\) of the continuous field of rotation C*-algebras \(\{A_t\}_{0 \le t \le 1}\) that is invariant under the noncommutative Hexic transform automorphism. This leads to invariant matrix (point) projections of the irrational noncommutative tori \(A_\theta\). We also present a quick method for computing the (quantized) topological invariants of such projections using techniques from classical Theta function theory.

On décrit des résultats récents sur l’existence d’une transformation intégrale d’ordre trois (ou d’ordre six) sur un groupe localement compact abélien self-dual. On étudie l’application possible à la construction d’un champs continu de projecteurs invariants sous l’automorphisme associé du champs de C*-algèbres de rotation. On calcule certains invariants topologiques de ces projecteurs.

Constructive Geometrization of Thurston Maps
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 37 (3) 2015, pp. 100-113
Nikita Selinger; Michael Yampolsky (Received: 2014/10/06, Revised: 2014/11/19)

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We prove that every Thurston map can be constructively geometrized in a canonical fashion. According to Thurston’s theorem, a map with hyperbolic orbifold has a canonical geometrization – a combinatorially equivalent postcritically finite rational map of the Riemann sphere – if and only if there is no Thurston obstruction. We follow Pilgrim’s idea of a canonical decomposition of a Thurston map to handle the obstructed case. A key ingredient of our proof is a geometrization result for marked Thurston maps with parabolic orbifolds – an analogue of Thurston’s theorem for the exceptional case not covered by it.

On montre que toute application de Thurston peut être géométrisée de façon constructive et canonique. Selon le théoreme de Thurston, une telle application ayant un orbifold hyperbolique possède une géométrisation canonique, c’est-à-dire une fonction rationnelle combinatoriellement équivalente dont les orbites critiques sont finies, si et seulement s’il n’existe pas d’obstruction de Thurston. On traite le cas où il existe une obstruction en utilisant l’idée de Pilgrim d’une décomposition canonique d’une application de Thurston. L’ingrédient principal de la preuve est un résultat de géométrisation pour les applications de Thurston marquées ayant un orbifold parabolique – un analogue du théorème de Thurston pour le cas exceptionnel.

Topological Obstruction to Approximating the Irrational Rotation C*-algebra by Certain Fourier Invariant C*-subalgebras
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 37 (3) 2015, pp. 94-99
Sam Walters (Received: 2014/07/10, Revised: 2014/07/10)

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We demonstrate, in a rather quantitative manner, the existence of topological obstructions to approximating the irrational rotation C*-algebra \(A_\theta\) by Fourier invariant unital C*-subalgebras of either of the forms \[M \oplus B \oplus \sigma(B), \qquad M \oplus N \oplus D \oplus \sigma(D) \oplus \sigma^2(D) \oplus \sigma^3(D),\] where \(M, N\) are Fourier invariant matrix algebras (over \(\mathbb C\)), \(B\) is a C*-subalgebra whose unit projection is flip invariant and orthogonal to its Fourier transform, and \(D\) is a C*-subalgebra whose unit projection is orthogonal to its orbit under the Fourier transform. Here, \(\sigma\) is the noncommutative Fourier transform automorphism of \(A_\theta\) defined by \(\sigma(U) = V^{-1},\ \sigma(V)=U\) on the canonical unitary generators \(U,V\) obeying the unitary Heisenberg commutation relation \(VU = e^{2\pi i\theta}UV\).

On montre l’existence d’obstructions topologiques à l’approximation du tore non-commutatif par sous-algèbres de certains types qui sont invariantes sous l’automorphisme de Fourier.

Commutativity Criteria in Banach Algebras
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 37 (3) 2015, pp. 89-93
Cheikh O. Hamoud (Received: 2014/05/30, Revised: 2014/11/10)

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We consider complex Banach algebras satisfying the condition \(\displaystyle (xy)^k=x^ky^k\) for all \(x\,,\,y\,\) in the algebra where \(k\) is an integer \((k\geq 2)\).

We show that for \(k=2\) and \(k=3\), this condition yields commutativity in unital Banach algebras. For higher values of \(k\), commutativity is obtained for semi-simple algebras and the conclusions are quite similar to the ones in Cheikh 1995.

The extension of the results to wider classes of algebras is also considered.

Nous considérons des algèbres de Banach complexes vérifiant la condition \(\displaystyle (xy)^k=x^ky^k\) pour tout \(x\,,\,y\,\) dans l’algèbre, \(k\) étant un entier \((k\geq 2)\).

Nous montrons que pour \(k=2\) et \(k=3\), cette condition entraine la commutativité dans les algèbres de Banach unitaires. Pour les valeurs plus elevées de \(k\), la commutativité est établie dans les algèbres semi-simples avec des résultats similaires à ceux obtenus dans Cheikh 1995.

L’extension des résultats à d’autres classes d’algèbres topologiques est également considérée.

The Parallelism of a Certain Tensor of Real Hypersurfaces in a Nonflat Complex Space Form
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 37 (3) 2015, pp. 81-88
Tatsuyoshi Hamada; Katsufumi Yamashita (Received: 2014/10/15, Revised: 2014/11/04)

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In Theorem 1, we show a new condition for a real hypersurface \(M\) isometrically immersed into a nonflat complex space form to be a hypersurface of type (A). This condition is expressed by the parallelism of a certain tensor of type (1, 1) on \(M\) . Furthermore, using the discussion in the proof of Theorem 1, we can give a condition for a Kähler manifold to be a complex space form (see Theorem 2).

Dans le théorème 1, nous donnons une nouvelle condition pour qu’une hypersurface réelle \(M\) immergée dans une “space form” complexe non plate soit une hypersurface de type (A). Cette condition est exprimée par le parallélisme d’un certain tenseur de type (1, 1) sur \(M\) . De plus, en utilisant la discussion dans la démonstration du théorème 1, nous donnons une condition pour qu’une variété de Kähler soit une “space form” complexe (voir le théorème 2).

$L^p$-Convergence of the Laplace–Beltrami Eigenfunction Expansions
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 37 (2) 2015, pp. 76-80
Atsushi Kanazawa (Received: 2014/04/02, Revised: 2014/07/18)

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We provide a simple sufficient condition for the \(L^p\)-convergence of the Laplace–Beltrami eigenfunction expansions of functions on a compact Riemannian manifold with a Dirichlet boundary condition.

Nous fournissons une condition suffisante simple pour la convergence \(L ^ p\) de Laplace–Beltrami expansions de fonctions sur une variété riemannienne compacte avec une condition aux limites de Dirichlet.

A Classification of Tracially Approximate Splitting Interval Algebras. III. Uniqueness Theorem and Isomorphism Theorem
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 37 (2) 2015, pp. 41-75
Zhuang Niu (Received: 2012/06/26, Revised: 2013/03/26)

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Motivated by Huaxin Lin’s axiomatization of AH-algebras, the class of TASI-algebras is introduced as the class of unital C*-algebras which can be tracially approximated by splitting interval algebras—certain sub-C*-algebras of interval algebras. It is shown that the class of simple separable nuclear TASI-algebras satisfying the UCT is classified by the Elliott invariant. As a consequence, any such TASI-algebra is then isomorphic to an inductive limit of splitting interval algebras together with certain homogeneous C*-algebras—so it is an ASH-algebra.

Une classe de C*-algèbres qui généralisent la classe bien connue TAI de Lin est considérée—basées sur, au lieu de l’intervalle, ce qui pourrait s’appeler l’intervalle fendu (“splitting interval”), de sorte que l’on les appelle la classe TASI. On montre que la classe de C*-algèbres TASI qui sont simples, nucléaires, et à élément unité, qui vérifient le théorème à coefficients universels (UCT), peuvent se classifier d’après l’invariant d’Elliott.

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algebraic number theory approximation property automorphisms Bessel functions Boson-fermion correspondence C*-algebra Carmichael number center problem Chebyshev transform classification Classification of simple C*-algebras composition operators continued fractions Cuntz Semigroup elliptic curves fixed point Fourier transform function fields. functoriality general relativity generic property ideals indefinite inner product inductive limits of sub-homogeneous C*- algebras Irrational rotation algebra J-Hermitian matrix K-theory Kahler manifolds L-functions maximal ideal space nonexpansive mapping noninterlacing numerical range orthogonal polynomials Predual space prime number property SP Renormalization rotation algebras Salem number semi-reciprocal polynomials tracially approximate splitting interval algebras unbounded traces Weak Markov set Whitney problems

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