Vol.37 (4) 2015 — 3 results found.

Laplacians for Derived Graphs of Regular Kähler Graphs

C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 37 (4) 2015, pp. 142-157
Yaermaimaiti Tuerxunmaimaiti; Toshiaki Adachi (Received: 2014/07/13, Revised: 2015/07/15)

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We consider \((p,q)\)-step adjacency on a Kähler graph which is compounded from a principal graph and an auxiliary graph. We attach probabilistic weights to \((p,q)\)-step paths so that these paths show trajectories under the influence of a magnetic field of strength \(q/p\) on this graph. We study eigenvalues of Laplacians corresponding to \((p,q)\)-step paths on some regular Kähler graphs and give examples of pairs of regular Kähler graphs whose Laplacians for arbitrary pairs \((p,q)\) of positive integers have the same eigenvalues.

On considère la relation de contiguité à un pas \((p,q)\) près sur un graphe kählerien qui se constitue d’un graphe principal et un graphe auxiliaire. On attache des poids probabilistiques aux sentiers dans un tel graphe composés de pas \((p,q)\) de sorte que ces sentiers montrent des trajectoires sous l’influence d’un champs magnétique de force \(q/p\) sur le graphe. On étudie le spectre de l’opérateur laplacien correspondant aux sentiers aux pas \((p,q)\) sur certains graphes kähleriens regulières. On donne un example de deux graphes différents dont les opérateurs laplaciens ont le même spectre pour toute paire \((p,q)\).

The Pólya-Schur Problem on the Unit Circle

C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 37 (4) 2015, pp. 131-141
Peter C. Gibson (Received: 2014/10/06, Revised: 2014/10/24)

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The Pólya-Schur problem for a region \(Z\) in the complex plane is to characterize the semigroup of linear operators \(A:\mathbb{C}[z]\rightarrow \mathbb{C}[z]\) that map polynomials whose zeros are confined to \(Z\) to polynomials of the same type, or to 0. We give a constructive solution to the Pólya-Schur problem in the case where \(Z\) is the unit circle. This shows that the associated semigroup is qualitatively simpler than in the classical case where \(Z\) is the real line, whereas recent results have not clearly distinguished the two cases.

Le problème Pólya-Schur pour une région \(Z\) dans le plan complexe est de charactériser le semigroupe des opérateurs linéaires \(A:\mathbb{C}[z]\rightarrow \mathbb{C}[z]\) envoyant chaque polynôme dont les racines appartiennent à \(Z\) vers un polynôme du même type, ou vers 0. Nous présentons une solution constructive au problème Pólya-Schur dans le cas où \(Z\) est le cercle unité. Cela démontre que le semigroupe associé est qualitativement plus simple que dans le cas classique de la ligne réelle, tandis que les résultats récents n’ont pas distingué les deux cas.

Cubic and Hexic Integral Transforms for Locally Compact Abelian Groups

C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 37 (4) 2015, pp. 121-130
Sam Walters (Received: 2014/10/10, Revised: 2014/10/10)

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We prove that for locally compact, compactly generated self-dual Abelian groups \(G\), there are canonical unitary integral operators on \(L^2(G)\) analogous to the Fourier transform but which have orders 3 and 6. To do this, we establish the existence of a certain projective character on \(G\) whose phase multiplication with the FT gives rise to the Cubic transform (of order 3). (Thus, although the Fourier transform has order 4, one can “make it” have order 3 (or 6) by means of a phase factor!)

Soit \(G\) un groupe localement compact, engendré par un sousensemble compact, et isomorphe à son groupe dual. On construit des operateurs intégrals unitaires canoniques qui sont analogues à la transformée de Fourier, mais qui sont d’ordres trois et six.