Mathematical Reports - Comptes rendus mathématiques

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Vol.42 (2020) — 10 results found.

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A Classification of Finite Simple Amenable Z-stable C*-algebras, II: C*-algebras with Rational Generalized Tracial Rank One
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 42 (4) 2020, pp. 451-539
Guihua Gong; Huaxin Lin; Zhuang Niu (Received: 2020/09/20, Revised: 2021/01/31)

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A classification theorem is obtained for a class of unital simple separable amenable \({\cal Z}\)-stable C*-algebras which exhausts all possible values of the Elliott invariant for unital stably finite simple separable amenable \({\cal Z}\)-stable C*-algebras. Moreover, it contains all unital simple separable amenable C*-algebras which satisfy the UCT and have finite rational tracial rank.

Dans cet article et le précédent on donne une classification complète, au moyen de l’invariant d’Elliott, d’une sous-classe de la classe des C*-algèbres simples, moyennables, séparables, à élément unité, absorbant l’algèbre de Jiang-Su, et satisfaisant au UCT, qui épuise l’ensemble des valeurs possibles de l’invariant pour cette class. La partie I réalise une grande partie de ce projet, et la partie II l’achève.

A Classification of Finite Simple Amenable Z-stable C*-algebras, I: C*-algebras with Generalized Tracial Rank One
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 42 (3) 2020, pp. 63-450
Guihua Gong; Huaxin Lin; Zhuang Niu (Received: 2020/09/20, Revised: 2021/01/31)

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A class of C*-algebras, to be called those of generalized tracial rank one, is introduced. A second class of unital simple separable amenable C*-algebras, those whose tensor products with UHF-algebras of infinite type are in the first class, to be referred to as those of rational generalized tracial rank one, is proved to exhaust all possible values of the Elliott invariant for unital finite simple separable amenable \({\cal Z}\)-stable C*-algebras. A number of results toward the classification of the second class are presented including an isomorphism theorem for a special sub-class of the first class, leading to the general classification of all unital simple s with rational generalized tracial rank one in Part II.

Dans cet article et le prochain, on donne une classification complète, au moyen de l’invariant d’Elliott, d’une sous-classe de la classe des C*-algèbres simples, moyennables, séparables, à élément unité, absorbant l’algèbre de Jiang-Su, et satisfaisant au UCT, qui épuise l’ensemble des valeurs possibles de l’invariant pour cette class. La partie I réalise une grande partie de ce projet, et la partie II l’achève.

The Atiyah-Bott Lefschetz Formula Applied to the Based Loops on SU(2)
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 42 (3) 2020, pp. 42-62
Jack Ding (Received: 2020/07/23, Revised: 2020/10/01)

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The Atiyah-Bott-Lefschetz Formula is a well-known formula for computing the equivariant index of an elliptic operator on a compact smooth manifold. We provide an analogue of this formula for the based loop group \(\Omega SU(2)\) with respect to the natural \((T \times S^1)\)-action. From this result we also derive an effective formula for computing characters of certain Demazure modules.

La formule d’Atiyah-Bott-Lefschetz est une formule bien connue pour l’indice équivariante d’un opérateur elliptique sur une variété lisse compacte. Nous donnons une analogue de cette formule pour le groupe de lacets basés \(\Omega SU(2)\) par rapport à l’action naturelle de \(T \times S^1\). Avec ce résultat nous démontrons aussi une formule effective pour les caractères de certains modules de Demazure.

The Surprising Power of Averaging over Groups
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 42 (3) 2020, pp. 38-41
James Hogan; Samuel Li (Received: 2020/09/20)

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We highlight the surprising power of averaging via a few illuminating examples. Two of these problems involve characterizations of Hilbert space, and the third is a fundamental result in noncommutative geometry.

Nous soulignons le pouvoir surprenant de la moyenne par quelques exemples éclairants. Deux de ces problèmes concernent la caractérisation de l’espace de Hilbert, et le troisième est un résultat fondamental en géométrie non commutative.

Gaussian Primes
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 42 (3) 2020, pp. 30-37
J. B. Friedlander (Received: 2020/09/30)

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We survey some of the many interesting questions and results that accrue to the prime numbers which are the sum of two squares.

On survole quelques-uns des plusieurs questions et résultats intéressants qui s’accroissent aux nombres premiers qui sont la somme de deux carrés.

Retraction Notice – Generalizing Stein’s Lemma
Online First
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Moawia Alghalith, Generalizing Stein’s Lemma, C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada 42 (2020), pp. 21–24.

This article has been retracted on the request of the author.

The author is indebted to the author of the article immediately preceding this notice,

Christian Genest, On an extension of Stein’s Lemma, C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada 42 (2020), pp. 25–28,

for pointing out the erroneous nature of the article in question.

On an Extension of Stein’s Lemma
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 42 (2) 2020, pp. 25-28
Christian Genest (Received: 2020/06/15, Revised: 2020/06/15)

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An extension of Stein’s lemma to arbitrary random pairs was recently proposed in the preceding article. It is shown that this generalization is valid only for linear functions and hence trivial.

Une généralisation du lemme de Stein à toute paire d’aléas a récemment été proposée dans l’article précédent. On montre que cette extension n’est valable que pour les fonctions affines et qu’elle est donc triviale.

[Note: By special arrangement this article is open access]

Generalizing Stein’s Lemma
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 42 (2) 2020, pp. 21-24
Moawia Alghalith (Received: 2020/02/19, Revised: 2020/04/28)

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We generalize Stein’s lemma. That is, we do not assume a specific probability distribution. We also provide new additional results for the covariance and the variance.

Nous généralisons le lemme de Stein. Autrement dit, nous ne supposons pas une distribution de probabilité spécifique. Nous fournissons également de nouveaux résultats supplémentaires pour la covariance et la variance.

On Geometric Preduals of Jet Spaces on Closed Subsets of ${\mathbb R}^n$
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 42 (1) 2020, pp. 10-20
Alexander Brudnyi; Almaz Butaev (Received: 2020/03/18, Revised: 2020/04/02)

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Let \(C_b^{k,\omega}({\mathbb R}^n)\) be the Banach space of \(C^k\) functions on \({\mathbb R}^n\) bounded together with all derivatives of order \(\le k\) , where the derivatives of order \(k\) have moduli of continuity majorization by \(c\,\omega\) , \(c\in\mathbb R_+\) , for some \(\omega\in C(\mathbb R_+)\) . For a closed set \(S\subset{\mathbb R}^n\) the jet space \(J_b^{k,\omega}(S)\) is the Banach space of vector functions whose components are partial derivatives of functions in \(C_b^{k,\omega}({\mathbb R}^n)\) evaluated at points of \(S\) equipped with the corresponding quotient norm. The geometric predual \(G_J^{k,\omega}(S)\) of \(J_b^{k,\omega}(S)\) is the minimal closed subspace of the dual \(\bigl(C_b^{k,\omega}({\mathbb R}^n)\bigr)^*\) containing the evaluation functionals of all partial derivatives of order \(\le k\) at points in \(S\) . In the paper we study some geometric properties of spaces \(G_J^{k,\omega}(S)\) related to the classical Whitney problems.

Soit \(C_b^{k,\omega}({\mathbb R}^n)\) l’espace de Banach des fonctions \(C^k\) sur \({\mathbb R}^n\) bornées avec toutes les dérivées d’ordre \(k\) , où les dérivés d’ordre \(k\) ont des modules de continuités majorés par \(c\,\omega\) , \(c\in\mathbb R_+\) , pour quelques \(\omega\in C(\mathbb R_+)\) . Pour un ensemble fermé \(S\subset{\mathbb R}^n\) l’espace de jet \(J_b^{k,\omega}(S)\) est l’espace de Banach des fonctions vectorielles dont les composantes sont des dérivées partielles des fonctions en \(C_b^{k,\omega}({\mathbb R}^n)\) évaluées aux points de \(S\) équipés de la norme du quotient correspondante. Le prédual géométrique \(G_J^{k,\omega}(S)\) de \(J_b^{k,\omega}(S)\) est le sous-espace minimal fermé du dual \(\bigl(C_b^{k,\omega}({\mathbb R}^n)\bigr)^*\) contenant les fonctionnelles d’évaluation de toutes les dérivées partielles d’ordre \(\le k\) aux points de \(S\) . Dans cet article, nous étudions certaines propriétés géométriques des espaces \(G_J^{k,\omega}(S)\) liées aux problèmes classiques de Whitney.

Piecewise Contractions and $b$-adic Expansions
C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada Vol. 42 (1) 2020, pp. 1-9
Benito Pires (Received: 2019/11/20, Revised: 2020/02/10)

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Let \(I=[0,1)\), \(b\in \{2,3,\ldots\}\) and \(f:I\to I\) be an injective piecewise \(\frac{1}{b}\)-affine map, that is, assume that there exists a partition of \(I\) into intervals \(I_1,\ldots,I_n\) such that \(f(x)-f(y)=\frac1b ( x-y)\) for all \(x,y\in I_i\) and \(1\le i\le n\). In this note, we study the \(\delta\)-parameter family of maps \(f_{\delta}=R_{\delta}\circ f\), where \(R_\delta:x\mapsto \{x+\delta\}\). More precisely, we show that the set \(\mathcal{N}\) of parameters \(\delta\) for which \(f_{\delta}\) has only natural \(f_{\delta}\)-codings with maximal complexity is a non-empty set with Hausdorff dimension \(0\). We also show that for all \(\delta\in\mathcal{N}\), the map \(f_{\delta}\) is topologically semiconjugate to a minimal \(n\)-interval exchange transformation satisfying Keane’s i.d.o.c. condition.

Soit \(I=[0,1)\), \(b\in \{2,3,\ldots\}\) et \(f:I\to I\) une fonction injective \(\frac{1}{b}\)-affine par morceaux, c’est-à-dire, supposons qu’il existe une partition de \(I\) en intervalles \(I_1,\ldots,I_n\) telle que \(f(x)-f(y)=\frac1b ( x-y)\) pour tous \(x,y\in I_i\) et \(1\le i\le n\). Dans cette note, nous étudions la famille de fonctions \(f_{\delta}=R_{\delta}\circ f\), où \(R_\delta:x\mapsto \{x+\delta\}\). Plus précisément, nous montrons que l’ensemble \(\mathcal{N}\) de paramètres \(\delta\) pour lesquels \(f_{\delta}\) a seulement \(f_{\delta}\)-codages naturelles avec complexité maximale est un ensemble non-vide de dimension de Hausdorff \(0\). Nous montrons aussi que pour tous \(\delta\in\mathcal{N}\), la fonction \(f_{\delta}\) est topologiquement semi-conjugué à un échange de \(n\) intervalles minimal satisfaisant à la condition i.d.o.c. de Keane.

 Volume / Issue

Most used Keywords

algebraic number theory approximation property automorphisms Bessel functions Boson-fermion correspondence C*-algebra Carmichael number center problem Chebyshev transform classification Classification of simple C*-algebras composition operators continued fractions Cuntz Semigroup elliptic curves fixed point Fourier transform function fields. functoriality general relativity generic property ideals indefinite inner product inductive limits of sub-homogeneous C*- algebras Irrational rotation algebra J-Hermitian matrix K-theory Kahler manifolds L-functions maximal ideal space nonexpansive mapping numerical range orthogonal polynomials Predual space prime number property SP Renormalization rotation algebras Salem number semi-reciprocal polynomials tracially approximate splitting interval algebras unbounded traces uniqueness Weak Markov set Whitney problems

Most used AMS

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